Serie numerica
Salve ho un problema con una serie numerica. $ sin n / (sqrt(n)*(n+1) $ (per n che va da 1 a +oo)
è possibile risolverla maggiorandola con la serie convergente $ 1 / ((n)*(n+1)) $ deducendone che quindi anche quella data è convergente? Oppure il fatto che abbia segni alterni mi crea qualche problema?
è possibile risolverla maggiorandola con la serie convergente $ 1 / ((n)*(n+1)) $ deducendone che quindi anche quella data è convergente? Oppure il fatto che abbia segni alterni mi crea qualche problema?
Risposte
Se fai quella maggiorazione, devi usare dei valori assoluti, pertanto stai determinando la convergenza assoluta della serie. Fatto questo, la serie rimanente si comporta come questa $\sum_{n=1}^\infty 1/n^{3/2}$ la quale converge. Pertanto la serie da cui sei partito converge assolutamente e, di conseguenza, converge semplicemente.
Dove si devono usare i valori assoluti?
Grazie mille per la risposta
Grazie mille per la risposta
Qui: $|\frac{\sin n}{\sqrt{n}(n+1)}|=\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}(n+1})\le \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}$.
Però mi chiedo: tu come l'hai scritta la maggiorazione?
Però mi chiedo: tu come l'hai scritta la maggiorazione?
$ (sen(n))/(sqrt(n)*(n+1)) <= 1/(n(n+1)) $
questa è la maggiorazione che ho fatto.
Quindi è lecito mettere il valore assoluto al seno (che è una funzione che assume anche valori negativi) per raggirare il problema dei segni alterni?
questa è la maggiorazione che ho fatto.
Quindi è lecito mettere il valore assoluto al seno (che è una funzione che assume anche valori negativi) per raggirare il problema dei segni alterni?
Assolutamente falso. Per quanto possa essere ancora accettabile che $\sin n\le 1$ (ma sarebbe meglio usare questa $|\sin n|\le 1$), non è affatto vero che $1/\sqrt{n}\le 1/n$: infatti essendo $n\ge \sqrt{n}$, passando ai reciproci si trova $1/n\le 1/\sqrt{n}$.
La cosa di "mettere il valore assoluto" come dici non è una questione di lecito/illecito: dovresti sapere che esiste una tipologia di convergenza, detta assoluta, per la quale (definzione) si può affermare che se la serie $\sum |a_n|$ converge, allora la serie $\sum a_n$ si dice convergere assolutamente.
Domanda: ma non aprire un libro di teoria, un quaderno di appunti o qualsiasi altra cosa dove ci siano scritti questi fatti, prima di buttarsi a capofitto a svolgere esercizi di cui non si comprende, poi, neanche il "meccanicismo", che senso ha?
La cosa di "mettere il valore assoluto" come dici non è una questione di lecito/illecito: dovresti sapere che esiste una tipologia di convergenza, detta assoluta, per la quale (definzione) si può affermare che se la serie $\sum |a_n|$ converge, allora la serie $\sum a_n$ si dice convergere assolutamente.
Domanda: ma non aprire un libro di teoria, un quaderno di appunti o qualsiasi altra cosa dove ci siano scritti questi fatti, prima di buttarsi a capofitto a svolgere esercizi di cui non si comprende, poi, neanche il "meccanicismo", che senso ha?
A studiare, ho studiato. Il problema è che gli appunti non sono i miei. E purtroppo, sono abbastanza "vuoti"
Non è una scusante: vedi che ci sono delle mancanze, cerchi su libri o su altro materiale. Non si può affrontare un esercizio del genre senza conoscere almeno i criteri e le definizioni fondamentali, non ti pare?
dunque se non conosco l'esistenza di una parte di un argomento come posso fare delle ricerche a riguardo? Su internet non ho trovato nulla che sia chiaro.
Comunque chiedo scusa.
Comunque chiedo scusa.
Non devi chiedere scusa: suppongo ci sia un programma a cui fare riferimento, no? Per cui prima di partire in quarta con lo svolgere esercizi, ci si dovrebbe documentare adeguatamente, cercando testi o altro materiale che permettano di seguire il programma fornito.
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