Serie numerica

[luca.piacentini2]

Studiare la convergenza semplice e assoluta al variare di x, x diverso da -1, della serie:

$\sum_{n=1}^\infty sin(1/(n(n+1))(1-1/(x+1))^n)$

Non so proprio da dove cominciare, quale criterio applicare. Grazie in anticipo.

[_luca94_1]

"tetris10":Studiare la convergenza semplice e assoluta al variare di x, x diverso da -1, della serie:

$\sum_{n=1}^\infty sin(1/(n(n+1))(1-1/(x+1))^n)$

Non so proprio da dove cominciare, quale criterio applicare. Grazie in anticipo.

Ti do un po' di spunti:
Per la convergenza assoluta
$|sin(1/(n(n+1))(1-1/(x+1))^n)| <= 1/(n(n+1))(1-1/(x+1))^n$

il secondo membro si mantiene sempre > 0, quindi possiamo applicare il criterio della radice:
Calcoliamo:
$\lim_{n \to \infty}1/(n(n+1))^(1/n)(1-1/(x+1)) = (1-1/(x+1))$

(Il limite $\lim_{n \to \infty}1/(n(n+1))^(1/n)$ è facilmente calcolabile ponendo $(n^2+n)^(1/n) = e^(1/n*ln(n^2+n))$ etc. etc.)

A questo punto studi $(1-1/(x+1))$. In base a come varia, la serie
$\sum_{n=1}^\infty (1/(n(n+1))(1-1/(x+1))^n)$ diverge o converge...
Se converge, allora converge anche la serie di partenza, se diverge (per x>-1 credo)....bisogna inventarsi qualcosa

[luca.piacentini2]

Mi è tutto chiaro e ti ringrazio ma non capisco solo una cosa: per quale motivo il seno di un arco in valore assoluto è minore o uguale del suo arco? Grazie ancora.

[axpgn]

Per questo motivo:



Cordialmente, Alex

[_luca94_1]

"axpgn":Per questo motivo:



Cordialmente, Alex

Si esatto!
Credo che si potrebbe anche dimostrare abbastanza facilmente.