Serie maggiorata

[maria601]

data la serie di termine generale $ 4^(-n)(1+1/n)^(n) n^2$ posso maggiorararla con $(1+1/n)^(n) n^2$ che tendendo ad infinito è divergente da cui deduco che anche la serie di partenza è divergente.

[ciampax]

No, se maggiori con una cosa divergente non ottieni niente! Il teorema del confronto dice che se $S_1

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[maria601]

con il criterio della radice dovrei avere $ (1/4)(en^2)^(1/n) $ il cui limite vale 0 quindi è convergente.

[ciampax]

Veramente, se applichi il criterio della radice viene fuori
$$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)\sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{4}$$
avendo usato il limite notevole $\lim_{n\to+\infty} n^{\alpha/n}=1,\ \alpha>0$.

[maria601]

non riesco a capire l'ultimo limite notevole

[ciampax]

Mai visto? Sarebbe questo
$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
da cui elevando ambo i membri alla $\alpha>0$
$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{n^\alpha}=1$$

[maria601]

forse lo avrò visto non ricordo ma perchè ha valore 1 ?

[ciampax]

Ci sono molti modi per dimostrarla: ad esempio, possiamo osservare che $n\ge 1\ \Rightarrow\ \root[n]{n}\ge 1$. Inoltre si può scrivere $\root[n]{n}=(\sqrt{\root[n]{n}})^2=(\root[n]{\sqrt{n}})^2\ge 1$. Possiamo allora supporre che $\root[n]{\sqrt{n}}=1+a_n,\ a_n\ge 0$ da cui
$$\sqrt{n}=(1+a_n)^n\ge 1+n a_n> n a_n>0$$
(ho usato la disuguaglianza di Bernoulli $(1+x)^n\ge 1+nx$, valida per $x> -1$). Ma allora
$$0< a_n< \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$$
e pertanto, dal teorema dei Carabinieri, segue che $\lim_{n\to+\infty} a_n=0$. Infine
$$\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\to+\infty}(1+a_n)^2=1$$