Serie Leibniz
Ciao a tutti... non riesco a dimostrare le 2 delle 3 regole di Liebniz ovvero:
-[size=150]a[/size][size=59]n[/size]>0
-[size=150]a[/size][size=59]n+1[/size]<[size=150]a[/size][size=59]n[/size]
di questa serie $ f(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^(n) (log(n+7))/(sqrt(n) -1) $
spero possiate darmi una mano...
Grazie mille
Ciao
-[size=150]a[/size][size=59]n[/size]>0
-[size=150]a[/size][size=59]n+1[/size]<[size=150]a[/size][size=59]n[/size]
di questa serie $ f(x)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^(n) (log(n+7))/(sqrt(n) -1) $
spero possiate darmi una mano...
Grazie mille
Ciao
Risposte
Per quanto riguarda il primo punto puoi vedere semplicemente che $\forall n>=2$ si ha $n+7>=1 \to log(n+7)>=log(1)=0$, quindi il numeratore è sempre positivo. Inoltre $\forall n>=2$ anche il denominatore è sempre positivo, quindi la frazione stessa è positiva.
Grazie mille!
per il secondo sai dirmi qualcosa?
per il secondo sai dirmi qualcosa?
scusate l'insistenza ma qualcuno saprebbe aiutarmi a risolvere la seconda disequazioe?
$((log (n+8))/(sqrt(n+1)-1))<((log(n+7))/(sqrt(n)-1))$
pliz non so dove sbattere la testa!non riesco a dimostrarla!
ki mi da una mano?
$((log (n+8))/(sqrt(n+1)-1))<((log(n+7))/(sqrt(n)-1))$
pliz non so dove sbattere la testa!non riesco a dimostrarla!
ki mi da una mano?
Invece di fare così, potresti provare a studiare la monotonia della funzione [tex]\frac{\log(x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex] quando [tex]x\to +\infty[/tex].
Facendo un po' di considerazioni sul limite della derivata prima di [tex]\frac{\log(x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex] per [tex]x\to +\infty[/tex], si desume che la funzione [tex]\frac{\log(x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex] è strettamente decrescente per [tex]x[/tex] in un intorno dell'infinito; pertanto la successione [tex]\frac{\log(n+7)}{\sqrt{n} -1}[/tex] è definitivamente decrescente e puoi applicare Leibniz.
Facendo un po' di considerazioni sul limite della derivata prima di [tex]\frac{\log(x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex] per [tex]x\to +\infty[/tex], si desume che la funzione [tex]\frac{\log(x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex] è strettamente decrescente per [tex]x[/tex] in un intorno dell'infinito; pertanto la successione [tex]\frac{\log(n+7)}{\sqrt{n} -1}[/tex] è definitivamente decrescente e puoi applicare Leibniz.
Ok! ma così facendo non riesco a dimostrare il carattere della mia serie.
"Maxs1982":
Ok! ma così facendo non riesco a dimostrare il carattere della mia serie.
Perchè non riesci?
Scusa hai tutto quello che ti serve...
Quali considerazioni fai sul limite per dire che è monotona descrescente e quindi verificare la 3° proprietà?
Vediamo un po'...
Detta [tex]f(x)=\tfrac{\ln (x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex], troviamo con un po' di passaggi:
[tex]f^\prime (x) =\frac{2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7)}{2\sqrt{x} (x+7) (\sqrt{x} -1)^2}[/tex];
evidentemente il denominatore di [tex]f^\prime[/tex] è positivo per [tex]x\geq 2[/tex], mentre dobbiamo decidere cosa succede al numeratore.
Facciamo vedere che il numeratore [tex]2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7)[/tex] è negativo intorno a [tex]+\infty[/tex]: dalla relazione di limite:
[tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{(x+7)\ln(x+7)}{x-\sqrt{x}} =+\infty[/tex]
(che si stabilisce mettendo in evidenza [tex]x[/tex] al denominatore) dalla definizione di limite si trae che in corrispondenza di [tex]\varepsilon=3[/tex] esiste un intorno di [tex]+\infty[/tex], diciamolo [tex][\delta ,+\infty [[/tex], tale che:
[tex]\frac{(x+7)\ln(x+7)}{x-\sqrt{x}} \geq 3 >2 \quad \text{ per } x\in [\delta , +\infty [[/tex]
e ciò implica evidentemente:
[tex]2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7) < 0 \quad \text{ per } x\in [\delta ,+\infty [[/tex].
Per quanto detto in precedenza, posto [tex]\nu =\max \{ 2,\delta\}[/tex], si ha:
[tex]f^\prime (x) < 0 \; \text{ per } x\in [\nu ,+\infty [ \quad \Rightarrow \quad f(x) \; \text{ è str. decr. per } x\in [\nu ,+\infty [[/tex].
Dalla monotonia di [tex]f[/tex] e dal fatto che [tex]n
[tex]a_{n+1} = f(n+1) < f(n) = a_n \quad \text{ per } n\geq \nu[/tex]
onde per cui la successione [tex](a_n)[/tex] soddisfa definitivamente l'ipotesi di decrescenza del teorema di Leibniz.
Inoltre è abbastanza evidente che [tex]\lim_n a_n =0[/tex], cosicché la [tex](a_n)[/tex] soddisfa anche all'altra ipotesi del teorema.
Perciò puoi concludere che la tua serie converge.
Detta [tex]f(x)=\tfrac{\ln (x+7)}{\sqrt{x} -1}[/tex], troviamo con un po' di passaggi:
[tex]f^\prime (x) =\frac{2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7)}{2\sqrt{x} (x+7) (\sqrt{x} -1)^2}[/tex];
evidentemente il denominatore di [tex]f^\prime[/tex] è positivo per [tex]x\geq 2[/tex], mentre dobbiamo decidere cosa succede al numeratore.
Facciamo vedere che il numeratore [tex]2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7)[/tex] è negativo intorno a [tex]+\infty[/tex]: dalla relazione di limite:
[tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{(x+7)\ln(x+7)}{x-\sqrt{x}} =+\infty[/tex]
(che si stabilisce mettendo in evidenza [tex]x[/tex] al denominatore) dalla definizione di limite si trae che in corrispondenza di [tex]\varepsilon=3[/tex] esiste un intorno di [tex]+\infty[/tex], diciamolo [tex][\delta ,+\infty [[/tex], tale che:
[tex]\frac{(x+7)\ln(x+7)}{x-\sqrt{x}} \geq 3 >2 \quad \text{ per } x\in [\delta , +\infty [[/tex]
e ciò implica evidentemente:
[tex]2(x-\sqrt{x})-(x+7)\ln(x+7) < 0 \quad \text{ per } x\in [\delta ,+\infty [[/tex].
Per quanto detto in precedenza, posto [tex]\nu =\max \{ 2,\delta\}[/tex], si ha:
[tex]f^\prime (x) < 0 \; \text{ per } x\in [\nu ,+\infty [ \quad \Rightarrow \quad f(x) \; \text{ è str. decr. per } x\in [\nu ,+\infty [[/tex].
Dalla monotonia di [tex]f[/tex] e dal fatto che [tex]n
[tex]a_{n+1} = f(n+1) < f(n) = a_n \quad \text{ per } n\geq \nu[/tex]
onde per cui la successione [tex](a_n)[/tex] soddisfa definitivamente l'ipotesi di decrescenza del teorema di Leibniz.
Inoltre è abbastanza evidente che [tex]\lim_n a_n =0[/tex], cosicché la [tex](a_n)[/tex] soddisfa anche all'altra ipotesi del teorema.
Perciò puoi concludere che la tua serie converge.
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