Serie Leibniz
ragazzi qualcuno di voi mi fornisce i passi necessari per studiare il carattere di una serie a termini alterni di Leibniz ?
Al liceo non ho fatto le serie, quindi mi ritrovo un pò impacciato nel procedimento...
per quanto ho capito una serie a termini alterni in questo caso, è convergente se |a1| >= |a2| >= |a3| ... e il limite di n --> + infinito di a con n tende a zero.
io per la dimostrazione provavo semplicemente a sostituire dei valori arbitrari ad n per vedere se la prima relazione che ho scritto fosse vera o meno, e poi facevo il limite...ovviamente non penso si faccia così...
sui libri che ho non ci sono molte serie risolte, c'è solo la teoria... se qualcuno mi può aiutare gliene sarei grato...
Modificato da - rocco.g il 15/03/2004 17:13:30
Al liceo non ho fatto le serie, quindi mi ritrovo un pò impacciato nel procedimento...
per quanto ho capito una serie a termini alterni in questo caso, è convergente se |a1| >= |a2| >= |a3| ... e il limite di n --> + infinito di a con n tende a zero.
io per la dimostrazione provavo semplicemente a sostituire dei valori arbitrari ad n per vedere se la prima relazione che ho scritto fosse vera o meno, e poi facevo il limite...ovviamente non penso si faccia così...
sui libri che ho non ci sono molte serie risolte, c'è solo la teoria... se qualcuno mi può aiutare gliene sarei grato...
Modificato da - rocco.g il 15/03/2004 17:13:30
Risposte
In realtà c'è poco da aggiungere a quello che hai scritto tu.
In generale devi solo preoccuparti che da un certo punto in poi il termine an sia infinitesimo.
Per tornare al tuo esempiopuoi maggiorare COS(1/n) con 1 e il tuo an diventa:
an=n^(2/3) - (1 + n^2)^(1/3)
fai il lim per n->inf, se ti viene 0 stai a posto.
Il limite è effettivamente 0 dunque la serie converge.
ATTENZIONE però che i termini infinitesimi non 'facciano scherzi', cioè invertano di segno a loro volta come sin(n)/n. Questa è infinitesima, ma non soddisfa |an-1| >= |an|. (Per la cronaca la serie sin(n)/n converge comunque)
Per il resto stai tranquillo una serie di Leibniz è poco più che un esercizio di limiti.
In generale devi solo preoccuparti che da un certo punto in poi il termine an sia infinitesimo.
Per tornare al tuo esempiopuoi maggiorare COS(1/n) con 1 e il tuo an diventa:
an=n^(2/3) - (1 + n^2)^(1/3)
fai il lim per n->inf, se ti viene 0 stai a posto.
Il limite è effettivamente 0 dunque la serie converge.
ATTENZIONE però che i termini infinitesimi non 'facciano scherzi', cioè invertano di segno a loro volta come sin(n)/n. Questa è infinitesima, ma non soddisfa |an-1| >= |an|. (Per la cronaca la serie sin(n)/n converge comunque)
Per il resto stai tranquillo una serie di Leibniz è poco più che un esercizio di limiti.
altrimenti puoi considerare la funzione f(x) tale che f(n)=a(n) per ogni n; derivarla è vedere se è definitivamente decrescente; a quel punto, se la condizione necessaria per la convergenza di a(n) è verificata, allora puoi concludere che la serie converge.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
mm si quindi ci ero vicino 
il metodo con le funzione f(n)=an non lo conoscevo, però me ne aveva parlato un amico, Uber se ti va potresti farmi un esempio con la serie che ho postato ? magari il primo passaggio, così capisco come va impostata...poi me la continuo da solo magari...
il metodo con le funzione f(n)=an non lo conoscevo, però me ne aveva parlato un amico, Uber se ti va potresti farmi un esempio con la serie che ho postato ? magari il primo passaggio, così capisco come va impostata...poi me la continuo da solo magari...
in questo caso viene piuttosto complicato..
dunque: maggiori inizialmente, come ha fatto Pachito, cos(1/n) con 1, e cosideri la funzione f(x)=x^(2/3)-(1+x^2)^(1/3) ristretta all'intervallo x>=1 e te la derivi; ottieni il denominatore positivo in tale intervallo, mentre il numeratore, salvo errori, è negativo per x>(1+sqrt(5))^(1/2); ne consegue che la derivata è definitivamente negativa e quindi la funzione è definitivamente decrescente; poichè, abbiamo già visto, il termine infinitesimo è nullo, allora, per il criterio di Leibniz, la serie è semplicemente convergente.
ciao, ubermensch
Modificato da - ubermensch il 15/03/2004 22:52:52
dunque: maggiori inizialmente, come ha fatto Pachito, cos(1/n) con 1, e cosideri la funzione f(x)=x^(2/3)-(1+x^2)^(1/3) ristretta all'intervallo x>=1 e te la derivi; ottieni il denominatore positivo in tale intervallo, mentre il numeratore, salvo errori, è negativo per x>(1+sqrt(5))^(1/2); ne consegue che la derivata è definitivamente negativa e quindi la funzione è definitivamente decrescente; poichè, abbiamo già visto, il termine infinitesimo è nullo, allora, per il criterio di Leibniz, la serie è semplicemente convergente.
ciao, ubermensch
Modificato da - ubermensch il 15/03/2004 22:52:52
Ricorda però che questo metodo di ubermensch vale solo con le serie a termini alterni.
ok grazie per la spiegazione ragazzi !!!
sempre molto cortesi e precisi
sempre molto cortesi e precisi
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