Serie Laurent-Serie Taylor

[Intermat]

Vorrei chiedervi un chiarimento su un passaggio, che non ho ben capito, delle dispense di un docente.

In pratica citando il testo:
"Se $f$ è una funzione analitica in tutto il disco $B_(R_2)(z_0)$, la serie di Laurent $~$serie di Taylor. Infatti i coefficienti $a_n$ per $n<=-1$ si annullano essendo:
$f(s)/(s-z_0)^(n+1) in H(B_(R_2) (z_0))$

per il teorema di Cauchy (si osservi che per $n<=-1$, banalmente $n+1<=0$) e quelli con $n>=0$ sono gli stessi della serie di Taylor"

Sinceramente (anche a causa di una costruzione della frase un po' poco ortodossa (ma vabbe, sono slide!)) non ho ben capito come si spiega il fatto che i coefficienti $a_(-n)$ per $n=0,..., +oo$ siano tutti pari a zero.

Mi spiego, ho capito bene il perché la serie di Laurent $~$serie di Taylor (fondamentalmente perché si sta prendendo tutto il disco $B_(R_2)(z_0)$ e non il disco forato $B_(R_2)(z_0)\\{z_0}$) e dunque mi attendo anche io questa conclusione ma non capisco la dimostrazione matematica, ovvero i passaggi.

Qualcuno me li potrebbe gentilmente indicare?

Vi ringrazio in anticipo!

[dan952]

I coefficienti (in particolare con indice negativo) della serie di Laurent sono definiti come:
$$a_{-n}:=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial B_{R}}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial B_{R}}f(z)(z-z_0)^{n-1}dz$$
Ora sappiamo per ipotesi che $f(z)$ è analitica in tutto il disco $B_R(z_0)$, quindi lo saranno anche le funzioni $f(z)(z-z_0)^{n-1}$. Dal teorema integrale di Cauchy avremo quindi che:
$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial B_{R}}f(z)(z-z_0)^{n-1}dz=0\ \forall n \in NN$

[dan952]

Con $\partial B_R$ non intendo la frontiera del disco $B_{R_2}$ ma quella di un disco di raggio $R_1

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[Intermat]

Grazie mille. Non avevo pensato che l'integrale andasse riscritto "invertendo" il segno di $n$ dell'esponente di $1/(s-z_0)^(n-1)$. Però in effetti è logico.