Serie irregolare
L'esercizio "solo" di calcolare
$ sum_(k = 0)^(infty) (-1)^k $
Potete spiegarmi come si fa? Ammesso sia possibile visto che il valore osciò la tra 0 e 1 a seconda dell'esponente
$ sum_(k = 0)^(infty) (-1)^k $
Potete spiegarmi come si fa? Ammesso sia possibile visto che il valore osciò la tra 0 e 1 a seconda dell'esponente
Risposte
La serie proposta è indeterminata, cioè irregolare (come da titolo).
Cosa vuole di preciso l'esercizio?
Cosa vuole di preciso l'esercizio?
Eh?
Ciao Raffa85,
La serie proposta è un classico esempio di serie palesemente non convergente in senso ordinario, dato che le sue ridotte di ordine dispari valgono tutte $ 1$, mentre le sue ridotte di ordine pari sono tutte nulle:
$ S_{2n - 1} = \sum_{k = 0}^{2n - 2} (-1)^k = 1 \qquad \qquad S_{2n} = \sum_{k = 0}^{2n - 1} (-1)^k = 0 $
Tuttavia, se convenissimo di definire la somma $S $ di una serie non secondo l'usuale definizione
$ S := \lim_{n \to +\infty} S_n $
ma come
$S := 1/2 \lim_{n \to +\infty} (S_{2n - 1} + S_{2n}) $
si otterrebbe che la serie proposta è sommabile con somma $ S = 1/2 $
Si perverrebbe al medesimo risultato osservando che dalla serie proposta segue che $ S = 1 - S $
Più in generale si può dimostrare che si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k (k + 1/2)^t = cos((\pi t)/2) S(t) $
ove $ S(t) := \int_0^{+\infty} \frac{x^t}{cosh(\pi x)} \text{d}x \qquad \qquad Re[t] > - 1 $
Nel caso $t = 0 $ si ha subito
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k = S(0) $
e $S(0) $ è calcolabile elementarmente ponendo $y := e^{\pi x} $:
$S(0) = 2\int_0^{+\infty} \frac{\text{d}x}{e^{\pi x} + e^{-\pi x}} = 2/\pi\int_1^{+\infty} \frac{(\text{d}y)/y}{y + 1/y} = 2/\pi [arctan y]_1^{+\infty} = 2/\pi [\pi/2 - \pi/4] = 1/2 $
La serie proposta è un classico esempio di serie palesemente non convergente in senso ordinario, dato che le sue ridotte di ordine dispari valgono tutte $ 1$, mentre le sue ridotte di ordine pari sono tutte nulle:
$ S_{2n - 1} = \sum_{k = 0}^{2n - 2} (-1)^k = 1 \qquad \qquad S_{2n} = \sum_{k = 0}^{2n - 1} (-1)^k = 0 $
Tuttavia, se convenissimo di definire la somma $S $ di una serie non secondo l'usuale definizione
$ S := \lim_{n \to +\infty} S_n $
ma come
$S := 1/2 \lim_{n \to +\infty} (S_{2n - 1} + S_{2n}) $
si otterrebbe che la serie proposta è sommabile con somma $ S = 1/2 $
Si perverrebbe al medesimo risultato osservando che dalla serie proposta segue che $ S = 1 - S $
Più in generale si può dimostrare che si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k (k + 1/2)^t = cos((\pi t)/2) S(t) $
ove $ S(t) := \int_0^{+\infty} \frac{x^t}{cosh(\pi x)} \text{d}x \qquad \qquad Re[t] > - 1 $
Nel caso $t = 0 $ si ha subito
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k = S(0) $
e $S(0) $ è calcolabile elementarmente ponendo $y := e^{\pi x} $:
$S(0) = 2\int_0^{+\infty} \frac{\text{d}x}{e^{\pi x} + e^{-\pi x}} = 2/\pi\int_1^{+\infty} \frac{(\text{d}y)/y}{y + 1/y} = 2/\pi [arctan y]_1^{+\infty} = 2/\pi [\pi/2 - \pi/4] = 1/2 $
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