Serie + Integrale
Non sono riuscito a risolvere allo scritto i seguenti due esercizi.
Esercizio 1: $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{k^n+n}$ con $k>0$.
Innanzitutto è una serie a termini positivi, quindi o converge o diverge a $+\infty$. I casi da discutere penso siano tre $k=1$, $01$.
Nel caso $k>1$ posso invece applicare il criterio del rapporto e ottengo che il limite è $\frac{1}{k}$, che è minore di $1$ e pertanto la serie converge.
Nel caso $k=1$ si ottiene $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n}$ ma se applico ad esempio il criterio del rapporto ottengo $1$.
Nel caso $0
Esercizio 2: $E={(x,y):0\le y\le x; y\le\frac{2}{x^2+x}}$.
Se ho capito bene, devo trovare l'area della funzione che assume il valore minimo tra $y=x$ e $y=\frac{2}{x^2+x}$.
Però avrei bisogno di calcolare le ascisse dei punti di intersezione tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e della funzione $y=\frac{2}{x^2+x}$ cioè porre $\frac{2}{x^2+x}=x$ e risolvere quindi l'equazione $x^3+x^2-2=0$. Una soluzione è $x=1$, ma le altre due? Come faccio ad essere sicuro che sono complesse e che invece non ci sia qualche altra soluzione reale?
Grazie.
Esercizio 1: $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{k^n+n}$ con $k>0$.
Innanzitutto è una serie a termini positivi, quindi o converge o diverge a $+\infty$. I casi da discutere penso siano tre $k=1$, $0
Nel caso $k>1$ posso invece applicare il criterio del rapporto e ottengo che il limite è $\frac{1}{k}$, che è minore di $1$ e pertanto la serie converge.
Nel caso $k=1$ si ottiene $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n}$ ma se applico ad esempio il criterio del rapporto ottengo $1$.
Nel caso $0
Esercizio 2: $E={(x,y):0\le y\le x; y\le\frac{2}{x^2+x}}$.
Se ho capito bene, devo trovare l'area della funzione che assume il valore minimo tra $y=x$ e $y=\frac{2}{x^2+x}$.
Però avrei bisogno di calcolare le ascisse dei punti di intersezione tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e della funzione $y=\frac{2}{x^2+x}$ cioè porre $\frac{2}{x^2+x}=x$ e risolvere quindi l'equazione $x^3+x^2-2=0$. Una soluzione è $x=1$, ma le altre due? Come faccio ad essere sicuro che sono complesse e che invece non ci sia qualche altra soluzione reale?
Grazie.
Risposte
Esercizio 1:
Caso $k=1$: quella serie assomiglia troppo alla serie armonica per poter convergere. Formalizza meglio ed ottieni la soluzione.
Caso $k<1$: stessa cosa di prima; qui te la cavi con una minorazione, se sei abbastanza scaltro.
Esercizio 2:
Fare la divisione tra i polinomi $x^3+x^2-2$ ed $x-1$... Di solito funziona sempre.
[OT]
Per saper fare gli esercizi bisogna essere flessibili, non sempre l'algoritmo di soluzione standard (controllare se la successione degli addendi è infinitesima - se sì, applicare il criterio di convergenza "buono" - etc...) risolve la situazione...
Ricordi cosa ti dicevo per la questione gli $"o"$-piccoli?
[/OT]
Caso $k=1$: quella serie assomiglia troppo alla serie armonica per poter convergere. Formalizza meglio ed ottieni la soluzione.
Caso $k<1$: stessa cosa di prima; qui te la cavi con una minorazione, se sei abbastanza scaltro.
Esercizio 2:
Fare la divisione tra i polinomi $x^3+x^2-2$ ed $x-1$... Di solito funziona sempre.
[OT]
Per saper fare gli esercizi bisogna essere flessibili, non sempre l'algoritmo di soluzione standard (controllare se la successione degli addendi è infinitesima - se sì, applicare il criterio di convergenza "buono" - etc...) risolve la situazione...
Ricordi cosa ti dicevo per la questione gli $"o"$-piccoli?
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