Serie integrale
Ciao a tutti, avrei gentilmente bisogno di un chiarimento.
Come studio una serie dove il termine generale è dentro un integrale che và da n^2 a n? E' necessario prima risolvere l'integrale definito?
Come studio una serie dove il termine generale è dentro un integrale che và da n^2 a n? E' necessario prima risolvere l'integrale definito?
Risposte
Potresti scrivere un esempio di ciò che dici, magari ti potremo (potranno 
) aiutare!
Da quello che ho capito dovresti avere una coda del genere:
$\sum_{n=n_0}^{\infty} \int_{n}^{n^2} f(t) dt$
Giusto?
) aiutare! Da quello che ho capito dovresti avere una coda del genere:
$\sum_{n=n_0}^{\infty} \int_{n}^{n^2} f(t) dt$
Giusto?
Grazie per la reply. Si esatto.
mi unisco alla richiesta 
Guarda, se l'integrale della funzione $f(t)$ è esprimibile come composizione di funzioni elementari, allora nessuno ti impedisce di calcolare
$\int_{n}^{n^2}f(t)dt$.
Otterrai una funzione in n, che chiamo $F(n)$. Verifica a questo punto se la funzione $F(n)->0$ per $n->\infty$ (condizione necessaria affinchè la serie converga)... Dopodichè applicherai i metodi che hai fatto per determinare se la serie è convergente o meno (criterio della radice, del rapporto...).
Il problema sorge quando l'integrale non può essere espresso in termini di funzioni elementari, nel qual caso bisognerebbe lavorare con opportune maggiorazioni.
Quindi la discussione di quella serie dipende fortemente dalla funzione integranda $f(t)$.
$\int_{n}^{n^2}f(t)dt$.
Otterrai una funzione in n, che chiamo $F(n)$. Verifica a questo punto se la funzione $F(n)->0$ per $n->\infty$ (condizione necessaria affinchè la serie converga)... Dopodichè applicherai i metodi che hai fatto per determinare se la serie è convergente o meno (criterio della radice, del rapporto...).
Il problema sorge quando l'integrale non può essere espresso in termini di funzioni elementari, nel qual caso bisognerebbe lavorare con opportune maggiorazioni.
Quindi la discussione di quella serie dipende fortemente dalla funzione integranda $f(t)$.
1/ (Radq(x) * Log( 1+ Radq(x)*Log(x))
La funzione dentro l'integrale è questa
La funzione dentro l'integrale è questa
$f(x)= \frac{1}{\sqrt{x}*\log(1+\sqrt{x}*\log(x))}$
Impara a scrivere le formule, altrimenti i moderatori e amministratori (giustamente) si arrabbiano!
Controlla qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Impara a scrivere le formule, altrimenti i moderatori e amministratori (giustamente) si arrabbiano!
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Letto il link grazie. Si, la funzione è quella.
Prova a scrivere il problema, magari indicando anche da quale valore parte la serie, inoltre scrivi un tentativo di soluzione! Attraverso delle minorazioni sono riuscito a dire che la serie diverge, ti trovi? Aspetta comunque l'intervento di qualcuno più esperto 
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\int_{n}^{n^2} 1 / ((x^2)*sqrt(x^4 + 7x)) dx$. La risolverei risolvendo prima l'integrale all'interno, ma non sò nè se è la scelta giusta, nè se esistono metodi migliori e più agevoli.
Posto una possibile soluzione al primo problema, non sono sicuro che i passaggi che andrò a fare siano leciti. Mi è utile quindi postare il mio ragionamento di modo che qualcuno possa correggermi
Determinare il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x}* \log(1+\sqrt{x}\log(x))} dx$
Osservo innanzitutto che la funzione integranda è positiva per ogni $x>1$, inoltre:
$\log(1+\sqrt{x}\log(x))<= \sqrt{x}\log(x),\quad \forall x\in [n, n^2], con\quad n>1$ moltiplico per $\sqrt{x}$ ambo i membri. Quest'ultima essendo una funzione positiva, non inverte il senso della disuguaglianza, otteniamo quindi:
$\sqrt{x}\log(1+\sqrt{x}\log(x))<=(\sqrt{x})^2\log(x)= x\log(x), x\in [n,n^2]$ con n>1
pertanto:
$\frac{1}{x \log(x)}<=\frac{1}{\sqrt{x}\log(1+\sqrt{x})}$
Sfruttando la monotonia dell'operatore integrale, hai che:
$\int_{n}^{n^2} \frac{1}{x\log(x)}dx <= \int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x} \log(1+\sqrt{x})} dx$
Abbiamo quindi due successioni:
$a_n=\int_{n}^{n^2} \frac{1}{x\log(x)}dx= log(log(n^2))-log(log(n)) $
$b_n = \int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x} \log(1+\sqrt{x})} dx$
Abbiamo quindi scoperto che $a_n<= b_n $ ma ciò implica che $ \sum_{n=2}^{\infty} a_n<= \sum_{n=2}^{\infty} b_n$
Ora la successione $a_n$ non è infinitesima, infatti il limite per n tendente a $+\infty$ di $a_n$ è $log(2)$ ciò mi assicura il fatto che la serie
$ \sum_{n=2}^{\infty} a_n$ diverge, e di conseguenza diverge anche la nostra cara serie.
Mi auguro di non aver commesso errori
Determinare il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x}* \log(1+\sqrt{x}\log(x))} dx$
Osservo innanzitutto che la funzione integranda è positiva per ogni $x>1$, inoltre:
$\log(1+\sqrt{x}\log(x))<= \sqrt{x}\log(x),\quad \forall x\in [n, n^2], con\quad n>1$ moltiplico per $\sqrt{x}$ ambo i membri. Quest'ultima essendo una funzione positiva, non inverte il senso della disuguaglianza, otteniamo quindi:
$\sqrt{x}\log(1+\sqrt{x}\log(x))<=(\sqrt{x})^2\log(x)= x\log(x), x\in [n,n^2]$ con n>1
pertanto:
$\frac{1}{x \log(x)}<=\frac{1}{\sqrt{x}\log(1+\sqrt{x})}$
Sfruttando la monotonia dell'operatore integrale, hai che:
$\int_{n}^{n^2} \frac{1}{x\log(x)}dx <= \int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x} \log(1+\sqrt{x})} dx$
Abbiamo quindi due successioni:
$a_n=\int_{n}^{n^2} \frac{1}{x\log(x)}dx= log(log(n^2))-log(log(n)) $
$b_n = \int_{n}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{x} \log(1+\sqrt{x})} dx$
Abbiamo quindi scoperto che $a_n<= b_n $ ma ciò implica che $ \sum_{n=2}^{\infty} a_n<= \sum_{n=2}^{\infty} b_n$
Ora la successione $a_n$ non è infinitesima, infatti il limite per n tendente a $+\infty$ di $a_n$ è $log(2)$ ciò mi assicura il fatto che la serie
$ \sum_{n=2}^{\infty} a_n$ diverge, e di conseguenza diverge anche la nostra cara serie.
Mi auguro di non aver commesso errori
Quindi in pratica mi dici di trovare un minorante della funzione integranda, e operare con quello?
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