Serie in funzione di un parametro reale

[smaug1]

Studiare in funzione del parametro $\alpha \in R$ la convergenza semplice e assoluta delle seguente:

$\sum_(n=1)^oo (-1)^n 1 /( n^(\alpha)\ \cos (n^(\alpha)))$

Ho pensato che:

1) Se $\alpha > 1$ la serie converge assolutamente per la serie armonica.

2) Se $0<\alpha<=1$ la serie converge semplicemente per il criterio di leibniz.

3) Se $\alpha <= 0$ la serie diverge.

Ora il mio dubbio è: nel punto 2) la risposta è dovuta al fatto che il termine della serie deve oltre ad avere limite zero, e ad essere positiva, deve anche essere decrescente e tutto ciò mi sembra rispettato anche per $\alpha > 1$

Mi aiutate?

[Quinzio]

Mah....
se $a<0$ la serie non converge, ok, però oscilla. Es $a=-1$ hai $cos(1/n)->1$, quindi per n grandi hai es: $1000-1001+1002-1003$ ecc..

Per $a>0$ onestamente cosa fa la serie non lo so, ma temo che non si possa sapere perchè il coseno è impossibile da conoscere. Potrebbe in alcuni termini della serie assumere valori molto piccoli e quindi la frazione è molto grande. Addirittura potrebbe essere zero.

Es: $\alpha=log_5(9\pi/2)$, quando $n=5$..... ??

[smaug1]

aspetta, non sono riuscito a darmi una risposta per il fatto della decrescenza...