Serie helpp
determinare il carattere della serie $sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k^2)
io ho ragionato così:
- devo trovare le somme parziali della serie! (assai arduo... nn ne vengo a capo)
allora mi son detto:
$sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k)$ la posso riscrivere come $sum_(n=1)^oo1/(nlogn)$ che diverge.
essendo che $lim_(nto+oo)sum_(k=1)^n1/k^2$ converge, allora la sua successione delle serie parziali, ammesso che son esprimibili analiticamente, sono determinate da un qualcosa che ha un infinitesimo minore del logaritmo, in quanto il logaritmo determina l'andamneto della mia serie di confronto (serie armonica)
se l'infinitesimo è più piccolo, cioè $logn/h=+oo,n->+oo$, allora posso dire che, in modo definitivo, chiamato $h$ il suo termine generale, si avrà che
$1/(nlogn)<=1/(nh)<=1/n$ (la seconda disugualianza vale in quanto h>0) che son i tre termini di tre serie diverse, allora posso dire che $sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k)<=sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k^2)<=sum_(n=1)^oo1/n
e per il confronto diverge.
è giusto come ragionamento o ho fatto errori di ragionamento stupidi?
io ho ragionato così:
- devo trovare le somme parziali della serie! (assai arduo... nn ne vengo a capo)
allora mi son detto:
$sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k)$ la posso riscrivere come $sum_(n=1)^oo1/(nlogn)$ che diverge.
essendo che $lim_(nto+oo)sum_(k=1)^n1/k^2$ converge, allora la sua successione delle serie parziali, ammesso che son esprimibili analiticamente, sono determinate da un qualcosa che ha un infinitesimo minore del logaritmo, in quanto il logaritmo determina l'andamneto della mia serie di confronto (serie armonica)
se l'infinitesimo è più piccolo, cioè $logn/h=+oo,n->+oo$, allora posso dire che, in modo definitivo, chiamato $h$ il suo termine generale, si avrà che
$1/(nlogn)<=1/(nh)<=1/n$ (la seconda disugualianza vale in quanto h>0) che son i tre termini di tre serie diverse, allora posso dire che $sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k)<=sum_(n=1)^oo1/(nsum_(k=1)^n1/k^2)<=sum_(n=1)^oo1/n
e per il confronto diverge.
è giusto come ragionamento o ho fatto errori di ragionamento stupidi?
Risposte
riuppo subito che in questa domenica in 3 ore mi è già finito in seconda pagina!!!!
grazie a chiunque mi possa dire un parere
grazie a chiunque mi possa dire un parere
secondo me c'è qualcosa che non va......
perchè per usare il teorema del confronto nel caso della divergenza
deve essere:
serie divergente < serie da studiare $=>$ serie da studiare diverge
nel tuo studio hai il caso opposto..........
perchè per usare il teorema del confronto nel caso della divergenza
deve essere:
serie divergente < serie da studiare $=>$ serie da studiare diverge
nel tuo studio hai il caso opposto..........
però questa serie diverge e si può dimostrare con il criterio di condensazione di cauchy
infatti viene.....
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $\sum_{n=1}^oo 2^n 1/(2^n log2^n)$ (poichè il termine delle somme parziali tende 0 condizione necessaria per il criterio)
semplificando ottieni che
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $1/ln2$ $\sum_{n=1}^oo 1/n$
e poichè quest'ultima diverge anche la tua serie diverge!
infatti viene.....
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $\sum_{n=1}^oo 2^n 1/(2^n log2^n)$ (poichè il termine delle somme parziali tende 0 condizione necessaria per il criterio)
semplificando ottieni che
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $1/ln2$ $\sum_{n=1}^oo 1/n$
e poichè quest'ultima diverge anche la tua serie diverge!
posto una serie che invece non torna a me 
magari qlk la risolve......
$\sum_{n=1}^oo sin(ln n)/(n^2ln(n+1)$
magari qlk la risolve......$\sum_{n=1}^oo sin(ln n)/(n^2ln(n+1)$
"vs88":
però questa serie diverge e si può dimostrare con il criterio di condensazione di cauchy
infatti viene.....
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $\sum_{n=1}^oo 2^n 1/(2^n log2^n)$ (poichè il termine delle somme parziali tende 0 condizione necessaria per il criterio)
semplificando ottieni che
$\sum_{n=1}^oo 1/(n logn)$ è asintotica a $1/ln2$ $\sum_{n=1}^oo 1/n$
e poichè quest'ultima diverge anche la tua serie diverge!
ehm non è questa la serie che mi diverge o no... ma questa
$\sum_{n=1}^oo 1/(n sum_(k=1)^n1/k^2)$ che è un attim divero
l'alatra la uso per dire che diverge questa, volevo sapere questo
"vs88":
posto una serie che invece non torna a me
$\sum_{n=1}^oo sin(ln n)/(n^2ln(n+1)$
$\sum_{n=1}^oo sin(ln n)/(n^2ln(n+1)$ osserva la convergenza assoluta
$sum_{n=1}^oo |sin(ln n)|/(n^2ln(n+1))<=sum_{n=1}^oo 1/(n^2ln(n+1))
questo in quanto $|sinj|<=1$
qualcuno sa dirmi qualcosa sulla mia invece??
solo dire se ho fatto giusto o no
edit scusate i 5000edit ma nn so più contare le parentesi e l'anteprima..
"vs88":
secondo me c'è qualcosa che non va......
perchè per usare il teorema del confronto nel caso della divergenza
deve essere:
serie divergente < serie da studiare $=>$ serie da studiare diverge
nel tuo studio hai il caso opposto..........
mi sa che hai interpretato male quale delle serie stavo studiando...
la mia serie incognita cade proprio nel mezzo...
poco male
"fu^2":
determinare il carattere della serie $sum_(n in NN)1/(nsum_(k=1)^n1/k^2).
Divergente, ma molto lentamente.
Difatti, posto $s_n=\sum_(k=1)^n1/k^2$ e ricordato che la serie armonica generalizzata con esponente $alpha=2$ converge verso $s="sup"_n s_n >0$, hai: $AA n in NN$,
$n*s_nlen*squad =>quad 1/(n*s)le1/(n*s_n)$,
onde la tua serie è minorata termine a termine dalla $1/s *\sum_(n in NN) 1/n$, la quale diverge positivamente (poichè multipla della serie armonica).
P.S.: Anche se non è molto importante nell'economia dell'esercizio, ricordo che la somme della serie armonica generalizzata con esponente $alpha=2$ è $s=(pi^2)/6$.
benebene grazie gugo, quindi il mio bel ragionamento non si discosta molto dal tuo -> è giusto!
son contento, grazie mille!
ciaoo notte
son contento, grazie mille!
ciaoo notte
"fu^2":
benebene grazie gugo, quindi il mio bel ragionamento non si discosta molto dal tuo -> è giusto!
son contento, grazie mille!
ciaoo notte
Non discuto la correttezza del tuo ragionamento, ma è preferibile svolgere l'esercizio con una semplice minorazione: anche perchè più corto è lo svolgimento, più poche sono le possibilità di errore.
(Perdonami fu^2 ma, preferendo la sintesi, non mi riesce di trovare bello il tuo ragionamento. Però è sempre questione di gusti.)
P.S.: "essendo che" è scorretto; in italiano al massimo esiste la congiunzione essendoché.
"gugo82":
[quote="fu^2"]benebene grazie gugo, quindi il mio bel ragionamento non si discosta molto dal tuo -> è giusto!
son contento, grazie mille!
ciaoo notte
Non discuto la correttezza del tuo ragionamento, ma è preferibile svolgere l'esercizio con una semplice minorazione: anche perchè più corto è lo svolgimento, più poche sono le possibilità di errore.
(Perdonami fu^2 ma, preferendo la sintesi, non mi riesce di trovare bello il tuo ragionamento. Però è sempre questione di gusti.)[/quote]
beh ovviamente più corto è meglio è...
al gusto estetico dello svolgimento non son ancora arrivato, non sono ancora così fine
grazie e alla prossima
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