Serie geometrica con indici differenti, che fare?
Salve
sto studiando le serie per l'esame di analisi, e sto facendo qualcuno degli esercizi proposti dalla mia prof sulle serie geometriche. Ho compreso piuttosto bene che se il termine generale è maggiore o uguale a uno la serie diverge, se minore di -1 è indeterminata e che converge se è minore del modulo di 1. Detto questo ho problemi con il calcolo della somma: ho capito che la formula da applicare è
(1) - $[1-q^(k+1)]/(1-q)$
Ora però ho un dilemma... Tra gli esercizi ve ne sono diversi che presentano una complicazione, come questo che segue
$\sum_{n=1}^oo [3^(n-1)]/[5^(n+1)]$
A quanto ho capito la formula (1) è valida per serie con n che va da 0 a k. In questo caso k è $+oo$, e fin qui ok. Per far partire la serie da 0 ho riscritto l'esercizio nella forma
$\sum_{n=0}^oo [3^(n)]/[5^(n+2)]$
e già qui non so se ho fatto bene. Ma il problema che mi assilla ora è: come devo comportarmi con l'"n+2" a denominatore? Come influisce sulla formula (1), se influisce? Perché applicando la formula brutalmente e ignorando il +2 dovrebbe tornare che la somma è $5/2$.
Mi sento molto ignorante, ma non sono sicuro di ciò che ho fatto, potreste darmi una mano? =(
sto studiando le serie per l'esame di analisi, e sto facendo qualcuno degli esercizi proposti dalla mia prof sulle serie geometriche. Ho compreso piuttosto bene che se il termine generale è maggiore o uguale a uno la serie diverge, se minore di -1 è indeterminata e che converge se è minore del modulo di 1. Detto questo ho problemi con il calcolo della somma: ho capito che la formula da applicare è
(1) - $[1-q^(k+1)]/(1-q)$
Ora però ho un dilemma... Tra gli esercizi ve ne sono diversi che presentano una complicazione, come questo che segue
$\sum_{n=1}^oo [3^(n-1)]/[5^(n+1)]$
A quanto ho capito la formula (1) è valida per serie con n che va da 0 a k. In questo caso k è $+oo$, e fin qui ok. Per far partire la serie da 0 ho riscritto l'esercizio nella forma
$\sum_{n=0}^oo [3^(n)]/[5^(n+2)]$
e già qui non so se ho fatto bene. Ma il problema che mi assilla ora è: come devo comportarmi con l'"n+2" a denominatore? Come influisce sulla formula (1), se influisce? Perché applicando la formula brutalmente e ignorando il +2 dovrebbe tornare che la somma è $5/2$.
Mi sento molto ignorante, ma non sono sicuro di ciò che ho fatto, potreste darmi una mano? =(
Risposte
benvenuto/a nel forum.
con le proprietà delle potenze $(3^n)/(5^(n+2))=(3^n)/(5^n*5^2)=1/25*(3/5)^n$. OK? ciao.
con le proprietà delle potenze $(3^n)/(5^(n+2))=(3^n)/(5^n*5^2)=1/25*(3/5)^n$. OK? ciao.
Già, ci avevo riflettuto ma non ero certo. Quindi per la proprietà della moltiplicazione per una costante la somma verrebbe fuori $(1/25)*(5/2)=1/10$ giusto?
[mod="Fioravante Patrone"]Ho corretto la formula, aggiungendo un segno di dollaro alla fine.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Ho corretto la formula, aggiungendo un segno di dollaro alla fine.[/mod]
direi di sì.
Grazie mille dell'aiuto ^ ^
prego.
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