Serie (geometrica?)
Vi sottopongo il seguente quesito:
Dato un angolo acuto AOB di ampiezza $\alpha$ , sia C0 un punto del lato OA. Si consideri la spezzata C0C1C2C3… ottenuta in questo modo: C1 è la proiezione ortogonale di C0 su OB, C2 è la proiezione ortogonale di C1 su OA, C3 è la proiezione ortogonale di C2 su OB e così via. Se OC0 = 1, calcolare la lunghezza della spezzata.
Disegnando la figura, ottengo che la lunghezza della spezzata è data dalla serie:
$1+sen(alpha)+sen^2(alpha)+sen^3(alpha)+...$
essendo l'angolo acuto, il sen è compreso tra 0 e 1, quindi la serie mi sembra essere di tipo geometrico, con convergenza a
$1/(1-sen(alpha))$
ragionamento e calcoli vi sembrano corretti?
Dato un angolo acuto AOB di ampiezza $\alpha$ , sia C0 un punto del lato OA. Si consideri la spezzata C0C1C2C3… ottenuta in questo modo: C1 è la proiezione ortogonale di C0 su OB, C2 è la proiezione ortogonale di C1 su OA, C3 è la proiezione ortogonale di C2 su OB e così via. Se OC0 = 1, calcolare la lunghezza della spezzata.
Disegnando la figura, ottengo che la lunghezza della spezzata è data dalla serie:
$1+sen(alpha)+sen^2(alpha)+sen^3(alpha)+...$
essendo l'angolo acuto, il sen è compreso tra 0 e 1, quindi la serie mi sembra essere di tipo geometrico, con convergenza a
$1/(1-sen(alpha))$
ragionamento e calcoli vi sembrano corretti?
Risposte
Sì, il calcolo fatto con le serie è corretto.
Ciao Hadronen, vorrei provare a seguire il suggerimento per vedere dove porta
il lato OB è una semiretta la cui origine coincide con O, se l'angolo $alpha$ è ottuso, la proiezione ortogonale di $C_0$ cade sul prolungamento di OB e il segmento $C_0C_1$ si trova facendo $sen(pi-alpha)$, che è uguale a $senalpha$... va bene?
il lato OB è una semiretta la cui origine coincide con O, se l'angolo $alpha$ è ottuso, la proiezione ortogonale di $C_0$ cade sul prolungamento di OB e il segmento $C_0C_1$ si trova facendo $sen(pi-alpha)$, che è uguale a $senalpha$... va bene?
scusate, ma il testo parla di angolo $alpha$ acuto...
"Hadronen":
Sì, il ragionamento fatto con le serie è corretto... Ma nel caso in cui $alpha = pi/2+kpi$ con $k in ZZ$ ?
Ciao Chess71, hai ragione e io ho letto male il suggerimento di Hadronen, lui parla di semirette perpendicolari.
"gio73":
[quote="Hadronen"]Sì, il ragionamento fatto con le serie è corretto... Ma nel caso in cui $alpha = pi/2+kpi$ con $k in ZZ$ ?
Ciao Chess71, hai ragione e io ho letto male il suggerimento di Hadronen, lui parla di semirette perpendicolari.[/quote]
Sì, sì... ho corretto dopo aver visto il tuo commento.
Ciao, io non sono un matematico e probabilmente mi scappano parecchi svarioni, rileggendo il testo del problema la soluzione non mi convince, prima di dire ulteriori sciocchezze ci rifletto ancora un po' e poi vi espongo i miei dubbi, sperando che vogliate scioglierli.
"chess71":
Vi sottopongo il seguente quesito:
Dato un angolo acuto AOB di ampiezza $\alpha$ , sia C0 un punto del lato OA. Si consideri la spezzata C0C1C2C3… ottenuta in questo modo: C1 è la proiezione ortogonale di C0 su OB, C2 è la proiezione ortogonale di C1 su OA, C3 è la proiezione ortogonale di C2 su OB e così via. Se OC0 = 1, calcolare la lunghezza della spezzata.
Disegnando la figura, ottengo che la lunghezza della spezzata è data dalla serie:
$1+sen(alpha)+sen^2(alpha)+sen^3(alpha)+...$
Allora ho fatto il disegno come chess, ma il primo segmento $C_0C_1$, mi sembra che valga $OC_0senalpha$ e giacchè $OC_0$ vale 1, il primo segmento vale $senalpha$ non $1$. Poi riconosco una serie di triangoli rettangoli simili, ma la distanza $C_1C_2$ mi pare si trovi riflettendo sul triangolo rettangolo $C_0C_1C_2$ retto in $C_2$, moltiplico l'ipotenusa $C_0C_1=senalpha$ per $cosalpha$ e via dicendo
la lunghezza della spezzata a me viene$S=senalpha+senalphacosalpha+senalphacos^2alpha+...=senalpha*(1+cosalpha+ cos^2alpha+cos^3alpha...)$
sbaglio?
non sbagli affatto, grazie Gio
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