Serie geometrica

[forna-votailprof]

Ciao ragazzi...ho bisogno di un aiutino...devo trovare il risultato delle seguenti serie:

$ sum_(n = 0)^(n = oo) (p)^(n/2) $

$ sum_(n = 0)^(n = oo) (p)^((n-1)/2) $

Io vorrei trattarle come delle serie geometriche, ma essendo che l'esponente non è lo stesso della sommatoria non so come si comporta o quali proprietà devo sfruttare...grazie mille in anticipo...

[poncelet]

Nella prima puoi fare una sostituzione \(q=p^{\frac{1}{2}}\) e studiare la serie
\[
\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}
\]

e poi tornare alla serie originaria.

[poncelet]

Per la seconda puoi fare la stessa sostituzione e studiare
\[
\frac{1}{q}+\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}
\]

[forna-votailprof]

Grazie mille...tutto chiarissimo...però nella seconda non ho capito come possa risultarti così...io ho pensato che applico la proprietà delle potenze all'esponente così da vederlo come $ n / 2 - 1 / 2 $ e così diventa:
$ sum (p)^((n-1)/2) = sum ((p)^(n/2) * (p)^(-1/2)) = (p)^(-1/2) sum (p)^(n/2) $
E allora adesso applico la sostituzione di prima...ok?! perchè non capisco come mai nel tuo risultato ci sia la "+" anziche la "per" davanti la somma e come mai la q non sia sotto radice...

[poncelet]

A occhio mi sembra la stessa cosa. Infatti
\[
p^{-\frac{1}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}p^{\frac{n}{2}}=p^{-\frac{1}{2}}+1+p^{\frac{1}{2}}+p+p^{\frac{3}{2}}+\dots
\]

E
\[
\frac{1}{p^\frac{1}{2}}+\sum_{n=0}^{\infty}p^{\frac{n}{2}}=p^{-\frac{1}{2}}+1+p^{\frac{1}{2}}+p+p^{\frac{3}{2}}+\dots
\]

[forna-votailprof]

Si, esatto, viene uguale...quindi ok in entrambi i modi...ti ringrazio nuovamente...alla prossima