Serie geometrica

[mrpoint]

Salve a tutti,

ho un dubbio cui non riesco venire a capo:

premettiamo che serie geometrica $q^n$, per $q!=1$ abbiamo che $s_n = {1-q^{n+1}}/{1-q}$

all'interno della dimostrazione della serie geometrica e' scritto che $lim_{n->infty} s^n$ per $q<-1$ non esiste e che quindi la serie e' irregolare.
Sul fatto che la serie sia irregolare per q<-1 non ci piove, e' ovvio a prima vista e se ne ha la prova sviluppandola con un qualsiasi software matematico, mi sfugge il perche' il limite non esiste.

[Megan00b]

"mrpoint":Salve a tutti,

ho un dubbio cui non riesco venire a capo:

premettiamo che serie geometrica $q^n$, per $q!=1$ abbiamo che $s_n = {1-q^{n+1}}/{1-q}$

all'interno della dimostrazione della serie geometrica e' scritto che $lim_{n->infty} s^n$ per $q<-1$ non esiste e che quindi la serie e' irregolare.
Sul fatto che la serie sia irregolare per q<-1 non ci piove, e' ovvio a prima vista e se ne ha la prova sviluppandola con un qualsiasi software matematico, mi sfugge il perche' il limite non esiste.

Non esiste perché la serie è irregolare. Sono sinonimi.

[gugo82]

"mrpoint":[...] per $q!=1$ abbiamo che $s_n = {1-q^{n+1}}/{1-q}$

all'interno della dimostrazione della serie geometrica e' scritto che $lim_{n->infty} s^n$ per $q<-1$ non esiste [...] mi sfugge il perche' il limite non esiste.

Prendi $q<-1$, scrivi esplicitamente $s_(2n)$ ed $s_(2n+1)$ (ossia estrai da $(s_n)$ i termini d'indici pari e dispari) e verifica che $lim_n s_(2n)!=lim_n s_(2n+1)$.
Fatto questo, chiediti se $(s_n)$ può essere regolare o meno.

[Marco512]

CN affinchè una serie converga è che il limite per n che tende a $+ \infty$ di $q^n$ (cioè del termine generale) sia zero, per un noto teorema sulle serie.
Per $q<- 1$ il limite non esiste per cui di sicuro non converge.
Poi se vuoi studiare il carattere devi esaminare il limite delle somme parziali,sempre per n che tende a $+ \infty$, e anche questo limite non esiste, dunque la serie è indeterminata o oscillante