Serie geometrica

[Giova411]

Sono alle prime armi con le serie...
Nel calcolare la somma della serie geometrica:

$5 - 10/3 + 20/9 - 40/27 $ ....

SOLUZ:
Il primo termine è 5, $a = 5$. OK
La ragione come si determina con esattezza?
Devo fare così?

$a/(1-r)$ con |r|<1, allora $5/(1-(x)) = - 10/3$ quindi $1/(1-x) = - 2/3 = r$ che va bene perché $|r| = 2/3 < 1$

Con ragione di $-2/3$ la serie converge a $3$.

Ma come faccio a dimostrarlo per gli altri termini $+ 20/9 - 40/27 $ ....
Ho trovato $-2/3$ utilizzando, solo, il secondo termine cioé $-10/3$

[Pulcepelosa]

Quale è il termine generale della serie?

[Giova411]

Non lo dice, chiede solo di calcolare la somma della serie geometrica:

$5 - 10/3 + 20/9 - 40/27 $ ....

[amel3]

A occhio si vede che:
$5 * sum_0^oo (-2/3)^n = 5 - 10/3 + 20/9 - 40/27 $ ....

[_Tipper]

Direi:

$5 \cdot \sum_{n=0}^{+\infty}(-\frac{2}{3})^n$

[Giova411]

Si, in questo caso si vede ma io non voglio andare ad occhio.
Come impostare dei calcoli per trovare un risultato sicuramente giusto?

[amel3]

Scusa che cretino, adesso cambio il post; sono proprio fuso oggi...

[amel3]

Beh potresti provare a fare così, data
$ sum_0^oo a_n$
questa è geometrica se $(|a_(n+1)|)/(|a_n|)=K$, $AA n=0,1,2$..., con $K in RR$ tale che $0 Anche se secondo me te ne accorgi a occhio...

[Giova411]

$5 - 10/3 + 20/9 - 40/27 $ ....

Prima aveva preso a = 5 e trovo la ragione che -2/3.
Per essere sicuro e dimostrarlo per gli altri termini basta prendere a = al successivo e così via. Ossia:

Prendo a = -10/3.
la formula è:
$a/(1-r)$ e voglio r.

$(-10/3) / (1-(r)) = 20/9 $ quindi $1/(1-r) = - 2/3 = r$ che va bene perché $|r| = 2/3 < 1$

Tutto ciò lo volevo sapere proprio perché non volevo "andare ad occhio".
Ora mi sembra di aver capito!

[amel3]

Comunque il metodo che ti ho detto è talmente banale che praticamente è come andare a occhio...