Serie Geometrica

[Dust96]

Salve a tutti, vi ringrazio in anticipo se vorrete darmi una mano. Praticamente mi viene chiesto, nel seguente esercizio, di trovare una formula chiusa per la seguente serie numerica: $1+3r²+5r⁴+7r^6+9r^8...$ supponendo che $|r|<1$. Io personalmente ho provato a moltiplicare per $(1-r²)$ per eliminare i termini noti ma rimango impantanato nel proseguimento, c'è qualcuno di voi in grado di aiutarmi?

[Mephlip]

Basta notare che i coefficienti sono della forma $(2n+1)$ mentre gli esponenti della forma $2n$; infatti, per $n=0$ otteniamo il primo termine $1$ moltiplicato $r^0$ dunque $1$, mentre poi si ha per gli $n$ successivi a $0$ la successione

$$ \{3r^2, 5r^4, 7r^6,9r^8,...\} $$

Perciò

$$1+3r^2+5r^4+7r^6+9r^8+...=\sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1)r^{2n}$$

Serie convergente in quanto, per ipotesi, si ha $|r|<1$.

[pilloeffe]

Ciao Dust96,

Benvenuto sul forum!

Si ha:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1)r^{2n} = \sum_{n=0}^{+\infty} d/(dr) (r^{2n + 1}) = d/(dr) \sum_{n=0}^{+\infty} r^{2n + 1} = d/(dr) [r \sum_{n=0}^{+\infty}( r^2)^n] = d/(dr) [\frac{r}{1 - r^2}] = \frac{r^2 + 1}{(r^2 - 1)^2} $

per $|r| < 1 $

[Dust96]

"Mephlip":Basta notare che i coefficienti sono della forma $(2n+1)$ mentre gli esponenti della forma $2n$; infatti, per $n=0$ otteniamo il primo termine $1$ moltiplicato $r^0$ dunque $1$, mentre poi si ha per gli $n$ successivi a $0$ la successione

$$ \{3r^2, 5r^4, 7r^6,9r^8,...\} $$

Perciò

$$1+3r^2+5r^4+7r^6+9r^8+...=\sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1)r^{2n}$$

Serie convergente in quanto, per ipotesi, si ha $|r|<1$.

Grazie per la veloce risposta, ho capito il procedimento!

[Dust96]

"pilloeffe":Ciao Dust96,

Benvenuto sul forum!

Si ha:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1)r^{2n} = \sum_{n=0}^{+\infty} d/(dr) (r^{2n + 1}) = d/(dr) \sum_{n=0}^{+\infty} r^{2n + 1} = d/(dr) [r \sum_{n=0}^{+\infty}( r^2)^n] = d/(dr) [\frac{r}{1 - r^2}] = \frac{r^2 + 1}{(r^2 - 1)^2} $

per $|r| < 1 $

Grazie per i chiarimenti, vado subito a correggere dove avevo sbagliato!