Serie geometrica
Ciao colevo chiedervi un piccolo aiutino
Io L ho risolta così
$ (e^((alpha -7)n ))/(n^3/2 ) $
Quindi avremo che
$ (e^((alpha -7)n )) $ è una serie geometrica quindi
$ |e^((alpha -7) )|<1 $
È qui volevo chiedervi se alla fine alfa è giusto che sia
Alfa <=7 O alfa < 7
$ 1 /(n^3/2 ) $ questa invece è sempre convergente perché 3/2> 1
Io L ho risolta così
$ (e^((alpha -7)n ))/(n^3/2 ) $
Quindi avremo che
$ (e^((alpha -7)n )) $ è una serie geometrica quindi
$ |e^((alpha -7) )|<1 $
È qui volevo chiedervi se alla fine alfa è giusto che sia
Alfa <=7 O alfa < 7
$ 1 /(n^3/2 ) $ questa invece è sempre convergente perché 3/2> 1
Risposte
In realtà, indipendentemente dal $n^{3/2}$ hai che il termine generico diverge per $\alpha > 7$ e quindi la serie non può convergere.
Per $\alpha < 7$ invece hai che il termine generico è del tipo $e^{-cn} n^{b}$ con $c>0$, ma questo tende a 0 più velocemente di ogni potenza. Perciò, per il criterio del confronto, la serie converge.
Nel caso $\alpha = 7$, il termine generico è $$a_n \sim \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$$ e in questo caso interviene il fatto che l'esponente è $>1$ e perciò la serie converge.
Per $\alpha < 7$ invece hai che il termine generico è del tipo $e^{-cn} n^{b}$ con $c>0$, ma questo tende a 0 più velocemente di ogni potenza. Perciò, per il criterio del confronto, la serie converge.
Nel caso $\alpha = 7$, il termine generico è $$a_n \sim \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$$ e in questo caso interviene il fatto che l'esponente è $>1$ e perciò la serie converge.
Ok grazie mille
Prego 
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