Serie geometrica
Ciao!
Ho un oggetto S, rappresentato da \(\displaystyle S=\sum _{l=-n} ^{+n} E_0 e^{i l \Delta \omega t'} \).
Se non erro, è una serie geometrica di ragione \(\displaystyle e^{i\Delta \omega t'} \).
So che la \(\displaystyle \sum _{k=0} ^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \) \(\displaystyle \ \ \ \) (1)
mentre \(\displaystyle \sum _{k=m} ^{n} x^k = \frac{x^m - x^{n+1}}{1-x} \) \(\displaystyle \ \ \ \) (2)
Pensavo, se divido in due serie S: una che va da -n a 0 e una che va da 0 a n, può andar bene? Oppure posso utilizzare direttamente la (2)?
Grazie
Ho un oggetto S, rappresentato da \(\displaystyle S=\sum _{l=-n} ^{+n} E_0 e^{i l \Delta \omega t'} \).
Se non erro, è una serie geometrica di ragione \(\displaystyle e^{i\Delta \omega t'} \).
So che la \(\displaystyle \sum _{k=0} ^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \) \(\displaystyle \ \ \ \) (1)
mentre \(\displaystyle \sum _{k=m} ^{n} x^k = \frac{x^m - x^{n+1}}{1-x} \) \(\displaystyle \ \ \ \) (2)
Pensavo, se divido in due serie S: una che va da -n a 0 e una che va da 0 a n, può andar bene? Oppure posso utilizzare direttamente la (2)?
Grazie
Risposte
Puoi considerarla in questo modo
$$S=E_0\left[1+\sum_{l=1}^n \left(e^{il\Delta\omega t'}+e^{-il\Delta\omega t'}\right)\right]$$
e poi usare la $2$.
$$S=E_0\left[1+\sum_{l=1}^n \left(e^{il\Delta\omega t'}+e^{-il\Delta\omega t'}\right)\right]$$
e poi usare la $2$.
Ok. Solo che come risultato dovrei ottenere:
\(\displaystyle E_0 \frac{\sin [(2n+1) \Delta \omega t' /2]}{\sin (\Delta \omega t'/2)} \)
La somma si riferisce ai "modi" e questi sono in totale 2n +1. Devo forse riesprimere la somma tenendo conto di questo?
La tua indicazione mi sembra più che giusta, ma facendo i conti purtroppo non riesco ad ottenere il risultato sopra. Non capisco dove sbaglio ...
\(\displaystyle E_0 \frac{\sin [(2n+1) \Delta \omega t' /2]}{\sin (\Delta \omega t'/2)} \)
La somma si riferisce ai "modi" e questi sono in totale 2n +1. Devo forse riesprimere la somma tenendo conto di questo?
La tua indicazione mi sembra più che giusta, ma facendo i conti purtroppo non riesco ad ottenere il risultato sopra. Non capisco dove sbaglio ...
Dunque: utilizzando la formula per le somme di serie geometriche, tenendo conto che le ragioni sono rispettivamente $e^{i\Delta\omega t'},\ e^{-i\Delta\omega t'}$, e ponendo $\alpha=\Delta\omega t'$ per comodità, possiamo scrivere
$$S=E_0\left[1+\frac{e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}}{1-e^{i\alpha}}+\frac{e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}}{1-e^{-i\alpha}}\right]=\\ E_0\left[\frac{1-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+1+(1-e^{-i\alpha})(e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha})+(1-e^{i\alpha})(e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha})}{1-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+1}\right]=\\ E_0\left[\frac{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}-1+e^{in\alpha}+e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}-1+e^{-in\alpha}}{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\right]=\\ E_0\left[\frac{e^{in\alpha}+e^{-in\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}}{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\right]$$
Ora, ricorda che $e^{it}+e^{-it}=2\cos t$ per cui
$$S=E_0\frac{2\cos(n\alpha)-2\cos[(n+1)\alpha]}{2-2\cos\alpha}=E_0\frac{\cos(n\alpha)-\cos[(n+1)\alpha]}{1-\cos\alpha}=$$
ed usando la formula di addizione del coseno nel secondo termine $\cos(n\alpha+\alpha)$
$$=E_0\frac{\cos(n\alpha)-\cos(n\alpha)\cos\alpha+\sin(n\alpha)\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=E_0\left[\frac{\cos(n\alpha)\cdot(1-\cos\alpha)+\sin(n\alpha)\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\right]=$$
utilizzando le formule di bisezione e duplicazione, per cui
$$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2},\qquad \sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}$$
si ha
$$=E_0\frac{\cos(2n\frac{\alpha}{2})\cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin(2n\frac{\alpha}{2})\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=\\ E_0\frac{\cos(2n\frac{\alpha}{2})\cdot\sin\frac{\alpha}{2}+\sin(2n\frac{\alpha}{2})\cdot\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=E_0\frac{\sin\left[(2n+1)\frac{\alpha}{2}\right]}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$
che è quanto richiesto. Nell'ultimo passaggio ho usato la formula di addizione del seno al contrario.
$$S=E_0\left[1+\frac{e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}}{1-e^{i\alpha}}+\frac{e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}}{1-e^{-i\alpha}}\right]=\\ E_0\left[\frac{1-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+1+(1-e^{-i\alpha})(e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha})+(1-e^{i\alpha})(e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha})}{1-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+1}\right]=\\ E_0\left[\frac{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+e^{i\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}-1+e^{in\alpha}+e^{-i\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}-1+e^{-in\alpha}}{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\right]=\\ E_0\left[\frac{e^{in\alpha}+e^{-in\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}}{2-e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\right]$$
Ora, ricorda che $e^{it}+e^{-it}=2\cos t$ per cui
$$S=E_0\frac{2\cos(n\alpha)-2\cos[(n+1)\alpha]}{2-2\cos\alpha}=E_0\frac{\cos(n\alpha)-\cos[(n+1)\alpha]}{1-\cos\alpha}=$$
ed usando la formula di addizione del coseno nel secondo termine $\cos(n\alpha+\alpha)$
$$=E_0\frac{\cos(n\alpha)-\cos(n\alpha)\cos\alpha+\sin(n\alpha)\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=E_0\left[\frac{\cos(n\alpha)\cdot(1-\cos\alpha)+\sin(n\alpha)\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\right]=$$
utilizzando le formule di bisezione e duplicazione, per cui
$$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2},\qquad \sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}$$
si ha
$$=E_0\frac{\cos(2n\frac{\alpha}{2})\cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin(2n\frac{\alpha}{2})\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=\\ E_0\frac{\cos(2n\frac{\alpha}{2})\cdot\sin\frac{\alpha}{2}+\sin(2n\frac{\alpha}{2})\cdot\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=E_0\frac{\sin\left[(2n+1)\frac{\alpha}{2}\right]}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$
che è quanto richiesto. Nell'ultimo passaggio ho usato la formula di addizione del seno al contrario.
Ok, mi ero fermata alla prima serie di conti. Ora faccio il resto.. ma mi sembra tutto perfetto!!
Ti ringrazio, gentilissimo e chiarissimo!
Grazie mille
*Ely
Ti ringrazio, gentilissimo e chiarissimo!
Grazie mille
*Ely
Prego.
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