Serie geometrica

[Usernamer1]

Buongiorno a tutti, è giusto dire che se $ n->+oo $ allora $ root(n)((2^n+3^n)) = 1 $ ?

[Usernamer1]

C'entra che quello è parte di un esercizio che allora non capisco se quel limite dà 3.
L'esercizio è di calcolare la serie seguente:
$ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) $

i passaggi che ho fatto io, dovendo risolvere tramite la serie geometrica è stato di farla diventare appunto serie geometrica
$ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) = sum_(n = \0)^(oo )(root(n)(2^n+3^n)/5)^n $ e poichè il numeratore è minore del denominatore è convergente. Quindi la somma dovrebbe valere $ 1/(1-q) = 1/(1-(root(n)(2^n+3^n)/5)) = 1/(1-3/5) = 5/2 $

In realtà il risultato è $ 25/6 $ e si trova facendo $ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) = sum_(n = \0)^(oo )(2/5)^n + sum_(n = \0)^(oo )(3/5)^n $
ora calcolando le somme delle due nuove serie geometriche risulta $ sum_(n = \0)^(oo )(2/5)^n = 5/3 $ e $ sum_(n = \0)^(oo )(3/5)^n = 5/2 $ quindi $ 5/3+5/2=25/6 $

Pur capendo il procedimento giusto, non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato nel mio procedimento, qualcuno può illuminarmi?

[ciampax]

Quella non è una serie geometrica: non puoi scriverla come $\sum q^n$. E' tutto lì l'errore.
La puoi scomporre nella somma di due serie geometriche (come fai nella seconda parte) e ottenere la somma nel modo che hai scritto.

[Studente Anonimo]

"Usernamer":C'entra che quello è parte di un esercizio che allora non capisco se quel limite dà 3.
L'esercizio è di calcolare la serie seguente:
$ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) $

i passaggi che ho fatto io, dovendo risolvere tramite la serie geometrica è stato di farla diventare appunto serie geometrica
$ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) = sum_(n = \0)^(oo )(root(n)(2^n+3^n)/5)^n $ e poichè il numeratore è minore del denominatore è convergente. Quindi la somma dovrebbe valere $ 1/(1-q) = 1/(1-(root(n)(2^n+3^n)/5)) = 1/(1-3/5) = 5/2 $

In realtà il risultato è $ 25/6 $ e si trova facendo $ sum_(n = \0)^(oo )((2^n+3^n)/5^n) = sum_(n = \0)^(oo )(2/5)^n + sum_(n = \0)^(oo )(3/5)^n $
ora calcolando le somme delle due nuove serie geometriche risulta $ sum_(n = \0)^(oo )(2/5)^n = 5/3 $ e $ sum_(n = \0)^(oo )(3/5)^n = 5/2 $ quindi $ 5/3+5/2=25/6 $

Pur capendo il procedimento giusto, non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato nel mio procedimento, qualcuno può illuminarmi?

Scusa la tua serie $sum_(n=\0)^(oo)((2^n+3^n)/5^n)$ diventa:
$sum_(n=\0)^(oo)(2^n/5^n+3^n/5^n)$. E poi continuando?

[ciampax]

1) sì è valida
2) la serie geometrica è tale se $q$ è indipendente da $n$: con quel giochetto che fai $q=\frac{\root[n]{2^n+3^n}}{5}$

[Usernamer1]

Ah ecco cosa mi mancava, q dev'essere indipendente da n, non ci avevo pensato, grazie

Quindi in generale per accertarmi che una serie sia geometrica mi basta verificare che sia costante il rapporto tra suoi termini? È sufficiente quello a farmi verificare che sia geometrica o bisogna valutare anche altre condizioni?

[ciampax]

Quella è la definizione, per cui...