Serie funzioni n/x^n
Buonasera a tutti,
Sto provando calcolare la serie : $sum_{0;oo} n/x^n$
Stavo provando con il criterio del confronto asintotico ma non ne vengo fuori in quanto continua a divergere . So che devo considerare sol $|x|>1$ altrimenti la serie diverge.
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi dimostrare che tale serie converge ?
Grazie mille del supporto !
Sto provando calcolare la serie : $sum_{0;oo} n/x^n$
Stavo provando con il criterio del confronto asintotico ma non ne vengo fuori in quanto continua a divergere . So che devo considerare sol $|x|>1$ altrimenti la serie diverge.
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi dimostrare che tale serie converge ?
Grazie mille del supporto !
Risposte
Esistono tanti criteri di convergenza:
https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
In ogni caso, prova a seguire questo ragionamento.
Se $x > 1$ allora anche $\sqrt x > 1$
scriviamo
$\sum_{n=1}^{\infty} n/(x^n) = \sum_{n=1}^{\infty} n/(\sqrt(x^n)) 1/\sqrt(x^n) $
Ora prendiamo in considerazione il fattore $n/\sqrt(x^n)$ e calcoliamo il rapporto di questo fattore tra un termine della somma e il precedente. Vediamo che per un certo $n_0$, con $n > n_0$ questo rapporto e' minore di $1$.
$((n+1)/\sqrt(x^(n+1))) / (n/\sqrt(x^n)) < 1$
$(n+1)/\sqrt(x) < n $
$ n > 1/ (1-\sqrt x) $
Quindi sara' $n_0 > 1/ (1-\sqrt x)$
Ora possiamo scrivere:
$ \sum_{n=n_0}^{\infty} n/(\sqrt(x^n)) 1/\sqrt(x^n) < n_0 / x \sum_{n=n_0}^{\infty} 1/\sqrt(x^n)$
e quindi la somma e' convergente. Sempre per $x > 1$
https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
In ogni caso, prova a seguire questo ragionamento.
Se $x > 1$ allora anche $\sqrt x > 1$
scriviamo
$\sum_{n=1}^{\infty} n/(x^n) = \sum_{n=1}^{\infty} n/(\sqrt(x^n)) 1/\sqrt(x^n) $
Ora prendiamo in considerazione il fattore $n/\sqrt(x^n)$ e calcoliamo il rapporto di questo fattore tra un termine della somma e il precedente. Vediamo che per un certo $n_0$, con $n > n_0$ questo rapporto e' minore di $1$.
$((n+1)/\sqrt(x^(n+1))) / (n/\sqrt(x^n)) < 1$
$(n+1)/\sqrt(x) < n $
$ n > 1/ (1-\sqrt x) $
Quindi sara' $n_0 > 1/ (1-\sqrt x)$
Ora possiamo scrivere:
$ \sum_{n=n_0}^{\infty} n/(\sqrt(x^n)) 1/\sqrt(x^n) < n_0 / x \sum_{n=n_0}^{\infty} 1/\sqrt(x^n)$
e quindi la somma e' convergente. Sempre per $x > 1$
Ciao frat92ds,
Non solo si vede subito che la serie proposta è convergente in quanto derivata della serie geometrica, ma se ne riesce anche facilmente a determinare la somma:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} n/x^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n/x^n = y \sum_{n = 1}^{+\infty} n y^{n - 1} = y \cdot (\text{d})/(\text{d}y)[\sum_{n = 1}^{+\infty} y^n] = y \cdot 1/(1 - y)^2 = x/(x - 1)^2 $
ove si è posto $y := 1/x $ e pertanto la serie geometrica converge per $ |y| < 1 \iff |x| > 1 $
Non solo si vede subito che la serie proposta è convergente in quanto derivata della serie geometrica, ma se ne riesce anche facilmente a determinare la somma:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} n/x^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} n/x^n = y \sum_{n = 1}^{+\infty} n y^{n - 1} = y \cdot (\text{d})/(\text{d}y)[\sum_{n = 1}^{+\infty} y^n] = y \cdot 1/(1 - y)^2 = x/(x - 1)^2 $
ove si è posto $y := 1/x $ e pertanto la serie geometrica converge per $ |y| < 1 \iff |x| > 1 $
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