Serie funzioni con sup

[rocco.g1]

Ciao!

Allora, continua il mio vano tentativo di capire un procedimento per lo studio delle serie...

Dunque sulle dispense del mio prof, c'è scritto che in generale bisogna verificare che:

1. esiste il limite s(x) = lim di N -> +inf di s_N(x) cioè se esiste il limite con N->+inf della serie stessa...
Questo per la convergenza puntuale della serie.

2. se lim N->+inf del sup|s_N(x) - s(x)| = 0
Per la convergenza uniforme.

Io però non ho ancora capito come si fa a calcolare il sup, cioè esiste un metodo per fare i calcoli e dire che il suo vale 0, infinito o qualsiasi altro valore ? se si, come si fa ? Con la derivata prima ?

non ci sto capendo niente...

[david_e1]

Beh quello che hai scritto sono le definizioni di convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni (in questo caso le successioni sono di un tipo particolare: sono serie); tuttavia come nessuno calcola i limiti usando la definizione (o quasi) spesso si riesce a venire fuori dalle questioni con le serie senza usare direttamente la definizione, ma appellandosi a teoremi scaturiti dalla definizione...

Trovare quel sup a mano e' difficilissimo: infatti l'unico modo e' quello di trovare il sup della funzione definita dalle somme parziali (quindi usando la derivata prima) altrimenti e' un bel casino perche', anche se e' vero che, purche la serie converga per almeno un valore di x, la derivata della somma e' uguale alla somma delle derivate poi annullare questa derivata prima e' praticamente impossibile (e potrebbe anche non annullarsi mai) e anche valutare l'eventuale monotonia della funzione per trovare che il sup e' sui bordi del dominio potrebbe risultare complicatissimo.....

Da quello che mi ricordo in uno dei tuoi post precedenti mostravi una soluzione data dal tuo prof che passava proprio per il calcolo esplicito del sup. trasformando la serie nella successione delle somme parziali e poi lavorandola come si fa' sulle successioni di funzioni... questo credo che sia un metodo valido per serie famose di cui si conosce esplicitamente l'espressione delle somme parziali, altrimenti puoi tentare minorando il tuo sup o la tua serie con una serie piu' facile da valutare, ma cosi' facendo si rischia di trovare solo un sottoinsieme di quello reale di convergenza (la cosa funziona benissimo se la serie conv. in IR)......