Serie Fourier
Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di:
$ u(t) = (cos(πt))^2 sin(2πt). $
Allora è possibile ricondurci ad una forma più semplice (con le formule di trigonometria varie oppure col metodo esponenziale):
$ u(t) = sin(2πt)/2+sin(4πt)/4. $
Ora il segnale è sicuramente dispari quindi i coefficienti $ ak $ e $ a_0/2 $ sono nulli, ma se provo ad applicare la formula dell'integrale per trovare $ bk $ non so che Periodo utilizzare dato che i due seni hanno una frequenza angolare diversa inoltre l'integrale del seno al quadrato non è mica così immediato
ho paura di aver sbagliato qualcosa
$ u(t) = (cos(πt))^2 sin(2πt). $
Allora è possibile ricondurci ad una forma più semplice (con le formule di trigonometria varie oppure col metodo esponenziale):
$ u(t) = sin(2πt)/2+sin(4πt)/4. $
Ora il segnale è sicuramente dispari quindi i coefficienti $ ak $ e $ a_0/2 $ sono nulli, ma se provo ad applicare la formula dell'integrale per trovare $ bk $ non so che Periodo utilizzare dato che i due seni hanno una frequenza angolare diversa inoltre l'integrale del seno al quadrato non è mica così immediato
ho paura di aver sbagliato qualcosa
Risposte
Il periodo della funzione è ovviamente $T=1$, ti pare? Pertanto se sviluppi su $[-1,1]$ avendosi una funzione dispari, il suo sviluppo sarà della forma
$$u(t)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin\left(2\pi k t\right)$$
sei d'accordo? Ora, ti faccio presente che quei termini che hai scritto sarebbero proprio quelli che vengono fuori nei casi $k=1$ e $k=2$. Per cui...
$$u(t)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin\left(2\pi k t\right)$$
sei d'accordo? Ora, ti faccio presente che quei termini che hai scritto sarebbero proprio quelli che vengono fuori nei casi $k=1$ e $k=2$. Per cui...
Il periodo non mi è chiarissimo...
$ sin(2pit) $ ha un $ w_0=2pi,T=2pi/w_0=>1 $
ma $ sin(4pit) $ ha un $ w_0=4pi, T=2pi/(4pi)=>1/2 $
Quindi mi chiedo come sei arrivato a $ T=1 $
Immagino sia la domanda più stupida dell'anno
$ sin(2pit) $ ha un $ w_0=2pi,T=2pi/w_0=>1 $
ma $ sin(4pit) $ ha un $ w_0=4pi, T=2pi/(4pi)=>1/2 $
Quindi mi chiedo come sei arrivato a $ T=1 $
Immagino sia la domanda più stupida dell'anno
Guarda che il periodo dipende dalla funzione originaria, non dai pezzi che compongono lo sviluppo...
Continuo a non capire...
Se prendo la funzione di partenza: $ (cos(pit))^2*sin(2pit)=cos(pit)*cos(pit)*sin(2pit) $
$ T = 2,2,1 $
Dannazione sono negato sulla teoria dei segnali
Se prendo la funzione di partenza: $ (cos(pit))^2*sin(2pit)=cos(pit)*cos(pit)*sin(2pit) $
$ T = 2,2,1 $
Dannazione sono negato sulla teoria dei segnali
Allora, partiamo dal principio: la funzione è prodotto di due funzioni periodiche, $\cos^2(\pi t)$ di periodo $T=1$ e $\sin(2\pi t)$ anch'essa di periodo $T=1$. Verificarlo per la seconda è immediato, mentre per la prima basta considerare questo: il quadrato rende la funzione coseno sempre positiva, per cui tracciando il suo grafico otterrai una sorta di "coppia d'archi" (tipo McDonalds!) che, ovviamente, ti portano a concludere la periodicità pari a $T=1$ (infatti il grafico della funzione si ripete una volta preso $t>1$).
Ora, sei riuscito a scrivere la funzione in questo modo
$$u(t)=\frac{1}{2}\sin(2\pi t)+\frac{1}{4}\sin(4\pi t),\qquad t\in[0,1]$$
grazie al ragionamento per la periodicità (tra l'altro, quello che dici è giusto, tuttavia devi tenere conto che quando sommi due funzioni con periodi diversi, devi prendere il minimo comune multiplo dei periodi o, in generale, il più grande dei due, ecco perché in quello che hai scritto non ti tornava il $T=1$) e questo ti permette di concludere una serie di cose: punto primo che la funzione è dispari, e quindi il suo sviluppo deve essere del tipo
$$u(t)=\sum_{k=1}^\infty b_k \sin(2k\pi t)$$
Punto secondo che, osservando che la tua funzione, scritta nel secondo modo (con le sole funzioni seno) presenta i termini che si otterrebbero nello sviluppo per $k=1,\ k=2$, i coefficienti dello sviluppo sono i seguenti (senza svolgere calcoli)
$$b_1=\frac{1}{2}\qquad b_2=\frac{1}{4},\qquad b_k=0,\ k>2$$
Ora, sei riuscito a scrivere la funzione in questo modo
$$u(t)=\frac{1}{2}\sin(2\pi t)+\frac{1}{4}\sin(4\pi t),\qquad t\in[0,1]$$
grazie al ragionamento per la periodicità (tra l'altro, quello che dici è giusto, tuttavia devi tenere conto che quando sommi due funzioni con periodi diversi, devi prendere il minimo comune multiplo dei periodi o, in generale, il più grande dei due, ecco perché in quello che hai scritto non ti tornava il $T=1$) e questo ti permette di concludere una serie di cose: punto primo che la funzione è dispari, e quindi il suo sviluppo deve essere del tipo
$$u(t)=\sum_{k=1}^\infty b_k \sin(2k\pi t)$$
Punto secondo che, osservando che la tua funzione, scritta nel secondo modo (con le sole funzioni seno) presenta i termini che si otterrebbero nello sviluppo per $k=1,\ k=2$, i coefficienti dello sviluppo sono i seguenti (senza svolgere calcoli)
$$b_1=\frac{1}{2}\qquad b_2=\frac{1}{4},\qquad b_k=0,\ k>2$$
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