Serie esponenziale di Fourier
Salve a tutti,
voglio innanzitutto ringraziare l'intero forum per aver contribuito a farmi passare brillantemente gli esami di analisi 1 e 2 ^^.GRAZIE!!
Ora passiamo ai miei "nuovi" problemi.
Dato il segnale periodico:
$x(t)=2+\sin(0.3t+11°)-\frac{1}{4}\sin(0.6t+21°)+4\cos(1.2t)$
1- Si determinino i coefficienti della serie esponenziale di Fourier del segnale x(t);
2- Si determini la potenza media del segnale x(t),
Allora so che i coefficienti della serie esponenziale si calcolano come:
$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}dt$
Inoltre ho determinato che il periodo del segnale, dato dall'mcm dei periodi delle armoniche (se non sbaglio), è 21.
Ora ho provato a buttarmi subito sulla formula ...ma viene un bordello.
Avete qualche idea su come possa procedere?
Osservando la funzione ho pensato di esprimerla come:
$x(t)=2+\sin(2\pi\frac{1}{21}t+11°)-\frac{1}{4}\sin(2\pi\frac{2}{21}t+21°)+4\sin(2\pi\frac{4}{21}t+\frac{\pi}{2})$
voglio innanzitutto ringraziare l'intero forum per aver contribuito a farmi passare brillantemente gli esami di analisi 1 e 2 ^^.GRAZIE!!
Ora passiamo ai miei "nuovi" problemi.
Dato il segnale periodico:
$x(t)=2+\sin(0.3t+11°)-\frac{1}{4}\sin(0.6t+21°)+4\cos(1.2t)$
1- Si determinino i coefficienti della serie esponenziale di Fourier del segnale x(t);
2- Si determini la potenza media del segnale x(t),
Allora so che i coefficienti della serie esponenziale si calcolano come:
$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}dt$
Inoltre ho determinato che il periodo del segnale, dato dall'mcm dei periodi delle armoniche (se non sbaglio), è 21.
Ora ho provato a buttarmi subito sulla formula ...ma viene un bordello.
Avete qualche idea su come possa procedere?
Osservando la funzione ho pensato di esprimerla come:
$x(t)=2+\sin(2\pi\frac{1}{21}t+11°)-\frac{1}{4}\sin(2\pi\frac{2}{21}t+21°)+4\sin(2\pi\frac{4}{21}t+\frac{\pi}{2})$
Risposte
Poi ho pensato di esprimere le fasi in radianti:
$x(t)=2+\sin(2\pi\frac{1}{21}t+0.2)-\frac{1}{4}\sin(2\pi\frac{2}{21}t+0.4)+4\sin(2\pi\frac{4}{21}t+\frac{\pi}{2})$
Ed ho osservato che così la funzione è già espressa in serie di Fourier polare $x(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}A_{k}\sin(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})$
Però da qui non vedo un metodo rapido per il calcolo dei coefficienti della serie esponenziale.
Avete un'idea?
$x(t)=2+\sin(2\pi\frac{1}{21}t+0.2)-\frac{1}{4}\sin(2\pi\frac{2}{21}t+0.4)+4\sin(2\pi\frac{4}{21}t+\frac{\pi}{2})$
Ed ho osservato che così la funzione è già espressa in serie di Fourier polare $x(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}A_{k}\sin(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})$
Però da qui non vedo un metodo rapido per il calcolo dei coefficienti della serie esponenziale.
Avete un'idea?
Allora se la precedente osservazione è esatta ... cioè quella che il segnale così come l'ho riscritto è già in serie di Fourier polare.... ho pensato che essendo:
$x(t)=c_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[c_{k}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+c_{-k}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}A_{k}sin(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})$
dalle espressioni per il seno e coseno ottenute dalle formule di Eulero potrei scrivere che:
$x(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}A_{k}\frac{(e^{j(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})}-e^{-j(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})})}{2j}=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[\frac{A_{k}}{2j}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}e^{j\varphi_{k}}-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}e^{-j\varphi_{k}}]$
quindi avrei ottenuto che:
$x(t)=c_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[c_{k}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+c_{-k}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[(\frac{A_{k}}{2j}e^{j\varphi_{k}})e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+(-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j\varphi_{k}})e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]$
concludendo che i coefficienti delal serie esponenziale e i coefficienti della serie polare sono legati dalle relazioni:
$c_{k}=\frac{A_{k}}{2j}e^{j\varphi_{k}}$
$c_{-k}=-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j\varphi_{k}}$
Con queste formule poi potrei calcolare facilmente i coefficienti della serie esponenziale.
Secondo voi è fattibile tutta sta roba?
$x(t)=c_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[c_{k}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+c_{-k}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}A_{k}sin(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})$
dalle espressioni per il seno e coseno ottenute dalle formule di Eulero potrei scrivere che:
$x(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}A_{k}\frac{(e^{j(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})}-e^{-j(2\pi\frac{k}{T}t+\varphi_{k})})}{2j}=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[\frac{A_{k}}{2j}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}e^{j\varphi_{k}}-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}e^{-j\varphi_{k}}]$
quindi avrei ottenuto che:
$x(t)=c_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[c_{k}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+c_{-k}e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}[(\frac{A_{k}}{2j}e^{j\varphi_{k}})e^{j2\pi\frac{k}{T}t}+(-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j\varphi_{k}})e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]$
concludendo che i coefficienti delal serie esponenziale e i coefficienti della serie polare sono legati dalle relazioni:
$c_{k}=\frac{A_{k}}{2j}e^{j\varphi_{k}}$
$c_{-k}=-\frac{A_{k}}{2j}e^{-j\varphi_{k}}$
Con queste formule poi potrei calcolare facilmente i coefficienti della serie esponenziale.
Secondo voi è fattibile tutta sta roba?
ho provato a fare i calcoli e i risultati non sembrano astrusi ...voi che ne pensate?
Nessuno può dirmi se la strada è corretta?
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