[serie] esercizio d'esame !
Ciao a tutti, sono nuovo del forum 
Tra qualche giorno devo affrontare l'esame di analisi matematica e sono abbastanza pronto, ho solo un po' di dubbi sulle serie ! Guardando le vecchie tracce che la mia prof usa per l'esame, a volte capita un esercizio di questo tipo
"Stabilire se la serie $ sum_(n = 1)^(oo) (-1)^n ((n+1)/(n^4+3)) $ è convergente. In caso a ermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie
con un errore minore di $ 10^(-3) $ . Stabilire se il valore determinato approssima la somma della serie
per eccesso o per difetto."
Come calcolare la convergenza della serie dovrei averlo capito, anche se in rete ho trovato formule molto diverse... il mio libro dice di calcolare $ lim_(n -> oo ) |a(n+1)|/|a(n)| $ , mentre su internet ho letto che devo calcolare soltanto il limite della serie a(n) ...
I problemi nascono subito dopo, non capisco cosa significa "scrivere una maggiorazione per il resto, blabla..." ! purtroppo le slide della mia prof non contengono queste info perchè le ha spiegate a lezione (e io ero assente) e ora non so come fare ! Su internet non riesco a trovare praticamente niente, e se trovo qualcosa, mi confonde ancora di più !! Dovrebbe esserci qualche formula da applicare, ma non riesco a capire quale... se mi aiutaste ve ne sarei grato
Grazie per le eventuali risposte, e buona serata
Tra qualche giorno devo affrontare l'esame di analisi matematica e sono abbastanza pronto, ho solo un po' di dubbi sulle serie ! Guardando le vecchie tracce che la mia prof usa per l'esame, a volte capita un esercizio di questo tipo
"Stabilire se la serie $ sum_(n = 1)^(oo) (-1)^n ((n+1)/(n^4+3)) $ è convergente. In caso a ermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie
con un errore minore di $ 10^(-3) $ . Stabilire se il valore determinato approssima la somma della serie
per eccesso o per difetto."
Come calcolare la convergenza della serie dovrei averlo capito, anche se in rete ho trovato formule molto diverse... il mio libro dice di calcolare $ lim_(n -> oo ) |a(n+1)|/|a(n)| $ , mentre su internet ho letto che devo calcolare soltanto il limite della serie a(n) ...
I problemi nascono subito dopo, non capisco cosa significa "scrivere una maggiorazione per il resto, blabla..." ! purtroppo le slide della mia prof non contengono queste info perchè le ha spiegate a lezione (e io ero assente) e ora non so come fare ! Su internet non riesco a trovare praticamente niente, e se trovo qualcosa, mi confonde ancora di più !! Dovrebbe esserci qualche formula da applicare, ma non riesco a capire quale... se mi aiutaste ve ne sarei grato
Grazie per le eventuali risposte, e buona serata
Risposte
"Ryuuiji":
[...]
Come calcolare la convergenza della serie dovrei averlo capito, anche se in rete ho trovato formule molto diverse... il mio libro dice di calcolare $ lim_(n -> oo ) |a(n+1)|/|a(n)| $ , mentre su internet ho letto che devo calcolare soltanto il limite della serie a(n) ...
[...]
Rinfrescati bene le idee perché quanto hai scritto qui sopra non mi piace per nulla (matematicamente parlando, s'intende).
Vediamo, dunque: come studieresti il carattere della serie che proponi?
Mi associo a Delirium in quanto ha detto.
Aggiungo che gli esercizi di questo tipo [si riconoscono perché hanno il \((-1)^n\) e perché chiedono un'approssimazione numerica] sono fatti apposta per far usare allo studente il criterio di Leibniz.
Aggiungo che gli esercizi di questo tipo [si riconoscono perché hanno il \((-1)^n\) e perché chiedono un'approssimazione numerica] sono fatti apposta per far usare allo studente il criterio di Leibniz.
"Delirium":
[quote="Ryuuiji"][...]
Come calcolare la convergenza della serie dovrei averlo capito, anche se in rete ho trovato formule molto diverse... il mio libro dice di calcolare $ lim_(n -> oo ) |a(n+1)|/|a(n)| $ , mentre su internet ho letto che devo calcolare soltanto il limite della serie a(n) ...
[...]
Rinfrescati bene le idee perché quanto hai scritto qui sopra non mi piace per nulla (matematicamente parlando, s'intende).
Vediamo, dunque: come studieresti il carattere della serie che proponi?[/quote]
Mi sa che devo lavorarci su più del previsto
Allora, prima di tutto devo studiare il carattere della serie per capire se è divergente o convergente
stando ai miei appunti, devo utilizzare il teorema del "Criterio del rapporto" :
Sia a(n) una serie, si calcola il limite di n che tende a piu' infinito del rapporto della serie a(n+1)/a(n) , ovvero :
Se $ L in [ 0. 1 [ $ , la serie di termine a(n) converge assolutamente
Se $ L in ] 1, +oo [ $ la serie a(n) non converge
Dopo ciò non so che strumenti utilizzare per trovare ciò che è richiesta nella traccia, ovvero maggiorazione del resto e somma con errore minimo ...
Sei sicuro del caso $L = 1$?
sbagliato a scrivere, correggo subito... in realta Se L = 1 non si può affermare niente sulla serie, se non erro !
In ogni caso... Per provare la convergenza della serie è sufficiente andare a considerare la convergenza assoluta (puoi poi notare che il termine generale ha lo stesso ordine di infinitesimo di $1/n^3$ e quindi converge per confronto con la serie armonica generalizzata).
Per la stima sul resto devi seguire il suggerimento di Raptorista: criterio di Leibniz. Come si evince dalla dimostrazione di questo risultato è possibile avere una maggiorazione molto comoda del resto della serie. Ergo, dovresti studiare un po' di teoria.
Per la stima sul resto devi seguire il suggerimento di Raptorista: criterio di Leibniz. Come si evince dalla dimostrazione di questo risultato è possibile avere una maggiorazione molto comoda del resto della serie. Ergo, dovresti studiare un po' di teoria.
Si infatti, sto cercando un po' di teoria su internet. Il problema è che questo argomento delle serie è stato trattato molto superficialmente nel mio corso di Analisi, da quel che ho capito facoltà come ingegneria studiano le serie in Analisi 2, mentre noi ne facciamo un accenno in Analisi 1, frequento informatica, trattandole molto più superficialmente e quindi cercando su internet ho trovo dispense troppo approfondite, che presentano esempi molto più complessi dei nostri ( ad esempio serie con con incognite ) . Vi ringrazio comunque per le risposte
Ho iniziato a capire qualcosa... anche se avrei bisogno di qualche libro/dispensa. L' esercizio proposto
$ sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n ((n+1)/(n^4+3)) $
Ho capito come dimostrare che converge, rifacendomi alla serie armonica generalizzata $ (1/n^p) $, con $ p > 1 $
Ora devo calcolare la somma della mia serie per poter poi trovare resto,etc..
Per le serie del tipo $ 1/n^p $ i miei appunti riportano questa formula $ 1/((p-1)n^(p-1)) $ , ma non so se è corretta per il mio esercizio che non è proprio nella forma 1/n^p ...
ri-chiedo lumi
$ sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n ((n+1)/(n^4+3)) $
Ho capito come dimostrare che converge, rifacendomi alla serie armonica generalizzata $ (1/n^p) $, con $ p > 1 $
Ora devo calcolare la somma della mia serie per poter poi trovare resto,etc..
Per le serie del tipo $ 1/n^p $ i miei appunti riportano questa formula $ 1/((p-1)n^(p-1)) $ , ma non so se è corretta per il mio esercizio che non è proprio nella forma 1/n^p ...
ri-chiedo lumi
nessuno può aiutarmi ?? 
sono ancora bloccato su queste serie !!
non mi è proprio chiaro come calcolare il resto della serie .. se non ho capito male
$ R_n = | S - S_n | $ . $ S_n $ non mi è possibile calcolarlo, ma dovrei arrivarci dopo, mentre dovrei imporre
che $ R_n < 10^(-3) $ ma come ???
sono ancora bloccato su queste serie !!
non mi è proprio chiaro come calcolare il resto della serie .. se non ho capito male
$ R_n = | S - S_n | $ . $ S_n $ non mi è possibile calcolarlo, ma dovrei arrivarci dopo, mentre dovrei imporre
che $ R_n < 10^(-3) $ ma come ???
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