Serie e termini da sommare

[zavo91]

Ho questa serie
$\sum_{0}^oo $$(n+6)/(n^4+n^2+1) $
l'esercizio mi dice nel caso di serie convergente calcolare quanti termini occorre sommare perchè l'errore commesso sia, in valore assoluto, minore di $10^-2$.
quella serie converge per l'armonica generalizzata ma com faccio a calcolare i termini?

[gugo82]

Spoilerizzo un contazzo inutile e consiglio di guardare direttamente il post successivo.

Poniamo \(f(x):=\frac{x+6}{x^4+x^2+1}\).
Dal grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=0; ymax=6;
axes("","");
plot("(x+6)/(1+x^2+x^4)");[/asvg]
Si vede che \(f\) è strettamente decrescente per \(x\geq 1\), quindi abbiamo:
\[
\int_{n-1}^n f(x)\ \text{d}\ x \geq f(n)\ \int_{n-1}^n\ \text{d} x =\frac{n+6}{n^4+n^2+1}
\]
per \(n\geq 2\); conseguentemente:
\[
\int_{N-1}^M f(x)\ \text{d} x \geq \sum_{n=N}^M \frac{n+6}{n^4+n^2+1}\; ,
\]
ove \(2\leq N\leq M\).
Dalla seconda disuguaglianza segue immediatamente che per \(N\geq 2\):
\[
\begin{split}
\sum_{n=N}^\infty \frac{n+6}{n^4+n^2+1} &\leq \int_{N-1}^\infty f(x)\ \text{d} x \\
&= \frac{1}{6}\left( 8\sqrt{3}\ \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} +4\sqrt{3}\ \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} + 9\ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\right)\Bigg|_{N-1}^\infty\\
&= \sqrt{3}\ \pi - \frac{1}{6}\left( 8\sqrt{3}\ \arctan \frac{2N-3}{\sqrt{3}} +4\sqrt{3}\ \arctan \frac{2N-1}{\sqrt{3}} + 9\ln \frac{(N-1)^2+N}{(N-1)^2-N+2}\right)
\end{split}
\]
Ora osserviamo che:
\[
\frac{\pi}{2}-\arctan x \leq \frac{1}{x} \qquad \text{e}\qquad \ln (1+x)\leq x
\]
quindi l'ultimo membro della precedente si maggiora come segue:
\[
\begin{split}
\sqrt{3}\ \pi &- \frac{1}{6}\left( 8\sqrt{3}\ \arctan \frac{2N-3}{\sqrt{3}} +4\sqrt{3}\ \arctan \frac{2N-1}{\sqrt{3}} + 9\ln \frac{(N-1)^2+N}{(N-1)^2-N+2}\right) \\
&=
\frac{1}{6}\Bigg[ 8\sqrt{3}\ \left( \frac{\pi}{2} -\arctan \frac{2N-3}{\sqrt{3}}\right) +4\sqrt{3}\ \left( \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{2N-1}{\sqrt{3}} \right) \\
&\phantom{=} + 9\ln \left( 1+\frac{(N-1)^2-N+2}{(N-1)^2+N} -1\right)\Bigg] \\
&\leq \frac{1}{6}\Bigg[ 8\sqrt{3}\ \frac{\sqrt{3}}{2N-3} +4\sqrt{3}\ \frac{\sqrt{3}}{2N-1} \\
&\phantom{=} +9 \left( \frac{(N-1)^2-N+2}{(N-1)^2+N} -1\right)\Bigg]\\
&= \frac{4}{2N-3} +\frac{2}{2N-1} - \frac{3(N-1)}{(N-1)^2 +N}\\
&\leq \frac{4}{2N-3} +\frac{2}{2N-1}\; ;
\end{split}
\]
quindi il resto \(N\)-esimo \(\sum_{n=N}^\infty \frac{n+6}{n^4+n^2+1}\) della tue serie si maggiora per \(N\geq 2\) come segue:
\[
\begin{split}
\sum_{n=N}^\infty \frac{n+6}{n^4+n^2+1} &\leq \frac{4}{2N-3} +\frac{2}{2N-1}\\
& \leq \frac{4}{2N-3} +\frac{4}{2N-1}\\
&= \frac{16(N-1)}{4N^2-8N+3}
\end{split}
\]
e per determinare un indice \(N\) che soddisfa la tua stima basta risolvere la disequazione:
\[
\frac{16(N-1)}{4N^2-8N+3} \leq \frac{1}{100}\; .
\]
che si vede essere soddisfatta per \(N\geq \nu :=402\) o giù di lì.

Tuttavia, noto esplicitamente che l'indice \(\nu :=402\) sicuramente si guarda bene dall'essere il migliore indice possibile affinché il resto \(n\)-esimo soddisfi a tua richiesta... Infatti la maggiorazione fatta eliminando brutalmente il termine negativo \(- \frac{3(N-1)}{(N-1)^2 +N}\) è troppo rozza per sperare di acchiappare alla fine una stima buona del miglior indice a partire dal quale in poi i tuoi resti sono \(\leq 10^{-2}\).
In verità penso che, considerando tutto il maggiorante \(\frac{4}{2N-3} +\frac{2}{2N-1} - \frac{3(N-1)}{(N-1)^2 +N}\) e risolvendo numericamente la disequazione:
\[
\frac{4}{2N-3} +\frac{2}{2N-1} - \frac{3(N-1)}{(N-1)^2 +N} \leq \frac{1}{100}\; ,
\]
si possa arrivare ad un valore abbastanza accurato di \(\nu\); facendo un po' di simulazioni sembra che \(\nu =20\) sia il valore più ragionevole.

[gugo82]

Ma ripensandoci ho fatto un sacco di conti inutili...

Infatti si vede facilmente che:
\[
\frac{n+6}{n^4+n^2+1}\leq \frac{7}{n^3}
\]
(prendendo il denominatore comune e liberando si ottiene \(n^4+6n^3\leq 7n^4 +7n^2+7\), i.e. \(6n^3(n-1)+7(n^2+1)\geq 0\), che è banalmente vera) dunque per \(N\geq 1\) si ha:
\[
\sum_{n=N}^\infty\frac{n+6}{n^4+n^2+1}\leq \sum_{n=N}^\infty\frac{7}{n^3} \leq \int_{N-1}^\infty \frac{7}{x^3}\ \text{d} x = \frac{7}{2(N-1)^2}
\]
ergo il resto \(N\)-esimo è più piccolo di \(10^{-2}\) non appena \(N\) soddisfa la disequazione:
\[
\frac{7}{2(N-1)^2} \leq \frac{1}{100}
\]
e ciò accade solo quando \(N\geq \nu =: 20\).

[zavo91]

non bastava prendere la più semplice serie asintotica che ne caso è $1/n^3$ per l'armonica generalizzata e porla minore di $1/100$ ?? e trovare n?