Serie e sottosuccessioni

[melli13]

a) Sia $(a_n)$ una successione di numeri reali tale che $a_n> 0$ e $a_(n+1)=(n^2 + 1)a_n$ . Dire se converge la serie
$\sum_{n=1}^\infty a_n/(2^(2n)+1)$

b) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che $a_n$ non tende a $0$ per $n → ∞$, allora esiste una sottosuccessione $(a_σ(n))$ di $(a_n)$ e un numero $δ > 0$ tale che $|a_σ(n)| > δ AA n in NN$

c) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che $a_n$ non tende a $0$ per $n → ∞$, ma tale che ogni sottosuccessione di $(a_n)$ convergente tende a $0$ per $n → +∞$, allora la successione $(a_n)$ è illimitata.
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a) Per questo punto utilizzo il criterio del rapporto e mi viene che ($b_n:= a_n/(2^(2n)+1)$) $b_(n+1)/b_n=((n^2+1)*(2^(2n)+1))/(2^(2n+1)+1) -> oo$ e quindi la serie diverge (Giusto?)

b) e c) Non so proprio come lavorare con le sottosuccessioni. Non riesco nemmeno a visualizzarlo. Mi date qualche consiglio o suggerimento? Vi ringrazio

[Lebesgue]

"melli13":
a) Per questo punto utilizzo il criterio del rapporto e mi viene che ($b_n:= a_n/(2^(2n)+1)$) $b_(n+1)/b_n=((n^2+1)*(2^(2n)+1))/(2^(2n+1)+1) -> oo$ e quindi la serie diverge (Giusto?)

Questa parte è giusta, in pratica ti basta raccogliere il $2^(2n)$ al numeratore e $2^(2n+2)$ [attenzione che quando passi da n a n+1 hai che $2^{2(n+1)}=2^(2n+2)$, anche se alla fine non ti cambia nulla nella sostanza]

Per il punto c) l'idea è la seguente: per ipotesi $a_n >0$ ed ogni sua sottosuccessione convergente tende a zero, dunque se $l=lim_n a_n$ allora $l\in[0,+\infty)$, ma non può essere $l\ne+\infty$ in quanto altrimenti $l$ sarebbe finito, ma allora tutte le sosttosuccessioni convergerebbero ad $l$ finito, assurdo poichè per ipotesi tutte le sottosuccessioni convergenti convergono a zero e sempre per ipotesi $l\ne0$.

[anto_zoolander]

@Lebesgue
Penso che il punto $c$ non sia correttissimo. Successione illimitata e divergente sono due cose diverse.

prendi $a_n=n*|sin(n)|$

chiaramente $s u p (a_n)=+infty$ ma $a_n$ non diverge

il fatto che sia $a_(n+1)=(n^2+1)a_n$ da una importante informazione, ovvero che $foralln inNN(n>0=>a_(n+1)>a_n)$ quindi se $a_n$ fosse limitata allora convergerebbe al suo estremo superiore che sarà $>0$ pertanto ogni sottosuccessione convergerebbe a quel limite, diverso da zero.

anche perchè se $a_n -> +infty$ dubito che tu riesca a trovare una sottosuccessione convergente

[Bremen000]

@anto e @Lebesgue, ma siamo sicuri che i punti (b) e (c) non vadano interpretati del tutto indipendentemente da (a)? Anche perché assumendo le ipotesi di (a) in (b) e (c) si arriva a delle ovvietà/contraddizioni!

In spoiler le mie soluzioni di (b) e (c):

b) Se \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) non tende a $0$ allora, negando la definizione di limite,

\[ \forall \epsilon >0 \, \, \exists N=N(\epsilon) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } |a_n| < \epsilon \quad \forall n \ge N \]

si ottiene

\[ \exists \epsilon >0 \text{ t.c. } \forall n \in \mathbb{N} \, \, \exists \, k=k(n) \ge n \text{ t.c. } |a_k| \ge \epsilon \]

Dunque la successione che \( \{a_{k(n)} \}_{n \in \mathbb{N}} = \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \) si mantiene maggiore di $\delta = \epsilon/2$

c) Supponiamo che la successione \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) sia limitata. Consideriamo una qualsiasi sottosuccessione \( \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) che sarà anche essa limitata. Ma allora, per compattezza, se ne può estrarre una sottosottosuccessione \( \{a_{n_{k_l}}\}_{l \in \mathbb{N}} \subset \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) convergente. Ma per ipotesi (c) essa converge a $0$.

Allora abbiamo che da ogni sottosuccessione è possibile estrarre una sottosottosuccessione convergente allo stesso limite (0). Ma allora la successione \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge a $0$. Assurdo.

[Lebesgue]

"anto_zoolander":@Lebesgue
Penso che il punto $c$ non sia correttissimo. Successione illimitata e divergente sono due cose diverse.

Si infatti avevo sbagliato e avevo modificato il commento, ma la connessione è saltata proprio mentre stavo premendo "invia" quindi non sapevo se me l'avesse modificato o meno, a quanto pare no
Comunque anche il mio punto c) credo sia errato, in quanto ho supposto l'esistenza del limite della successione, tuttavia questo potrebbe benissimo non esistere. Il fatto è che se il limite non esistesse comunque si avrebbe che $\lim\mbox{sup} a_n\in(0,+\infty)$ e per la caretterizzazione del limsup si avrebbe la tesi

"Bremen000":@anto e @Lebesgue, ma siamo sicuri che i punti (b) e (c) non vadano interpretati del tutto indipendentemente da (a)? Anche perché assumendo le ipotesi di (a) in (b) e (c) si arriva a delle ovvietà/contraddizioni!

Beh, non essendo specificato, da brava persona sfaticata quale sono, ho optato per la via più breve

[Bremen000]

Il punto è che assumendo l'ipotesi di (a) in (b) e (c) si ha che $a_n$ ammette limite, sia esso $+\infty$ o $l>0$.

Nel caso b) si avrebbe dunque immediatamente la tesi per l'intera successione.

Nel caso c) si avrebbe che l'ipotesi è assurda: come può una sottosuccessione strettamente crescente e strettamente positiva avere come limite 0?

[anto_zoolander]

Avevo assunto che fosse crescente niente lasciamo stare
Comunque in altro caso l’avrei fatta esattamente come te, ottimo! Mi dissipo