Serie e somma a meno di un certo errore
Buonasera,
ho un grosso dilemma su ciò che riguarda una tipologia di esercizio sulle serie numeriche.
In particolare, mi riferisco a quei quesiti che richiedono di determinare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore minore di \(\displaystyle e \).
Premetto che frequento un corso di Analisi 1 e che non posso utilizzare né sviluppi di Taylor, né teoremi di Peano (mi è stato detto che esiste un teorema simile al riguardo), né integrali o derivate, dal momento che - ancora - non sono state trattate.
Rimane semplicemente la possibilità di maggiorare l'errore con qualcosa di riconducibile alla serie geometrica (di cui si conosce la somma) e poi calcolare per quale n si approssima la somma con l'errore cercato.
Ecco, però, il problema: non capisco completamente come posso ricondurre le serie alla serie geometrica attraverso una maggiorazione/minorazione...
Sapete come aiutarmi?
Posto anche due esempi di serie di cui calcolare il numero di termine da sommare per avere un valore della somma con un errore minimo di \(\displaystyle 10^{-2} \)
$\sum_{n=0}^\infty\frac{3n+5}{n^{3} + n + 2}$ e $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^{2}+1}{n^{3} + 4^{n}}$
ho un grosso dilemma su ciò che riguarda una tipologia di esercizio sulle serie numeriche.
In particolare, mi riferisco a quei quesiti che richiedono di determinare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore minore di \(\displaystyle e \).
Premetto che frequento un corso di Analisi 1 e che non posso utilizzare né sviluppi di Taylor, né teoremi di Peano (mi è stato detto che esiste un teorema simile al riguardo), né integrali o derivate, dal momento che - ancora - non sono state trattate.
Rimane semplicemente la possibilità di maggiorare l'errore con qualcosa di riconducibile alla serie geometrica (di cui si conosce la somma) e poi calcolare per quale n si approssima la somma con l'errore cercato.
Ecco, però, il problema: non capisco completamente come posso ricondurre le serie alla serie geometrica attraverso una maggiorazione/minorazione...
Sapete come aiutarmi?
Posto anche due esempi di serie di cui calcolare il numero di termine da sommare per avere un valore della somma con un errore minimo di \(\displaystyle 10^{-2} \)
$\sum_{n=0}^\infty\frac{3n+5}{n^{3} + n + 2}$ e $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^{2}+1}{n^{3} + 4^{n}}$
Risposte
Prendiamo la prima serie.
Non è difficile dimostrare che, ad esempio,
\(0 < a_n := \frac{3n+5}{n^3+n+2} < \frac{5}{n(n+1)} \qquad \forall n\geq 3 .\)
Inoltre hai che
\( s = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = s_N + r_N \), con \( s_N = \sum_{n=0}^{N} a_n\), \( r_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n\).
Dalla stima precedente hai che, per ogni $N\ge 2$,
\( r_N < 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{5}{N+1}.\)
Di conseguenza, per fare in modo che $s_N$ stimi $s$ con un errore inferiore a $10^{-2}$ basta scegliere $N\ge 2$ tale che $r_N < 10^{-2}$, cioè tale che
\( \frac{5}{N+1} < \frac{1}{100} \),
vale a dire $N > 501$.
Non è difficile dimostrare che, ad esempio,
\(0 < a_n := \frac{3n+5}{n^3+n+2} < \frac{5}{n(n+1)} \qquad \forall n\geq 3 .\)
Inoltre hai che
\( s = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = s_N + r_N \), con \( s_N = \sum_{n=0}^{N} a_n\), \( r_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n\).
Dalla stima precedente hai che, per ogni $N\ge 2$,
\( r_N < 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{5}{N+1}.\)
Di conseguenza, per fare in modo che $s_N$ stimi $s$ con un errore inferiore a $10^{-2}$ basta scegliere $N\ge 2$ tale che $r_N < 10^{-2}$, cioè tale che
\( \frac{5}{N+1} < \frac{1}{100} \),
vale a dire $N > 501$.
Scusate se mi intrometto ma dovendo risolvere un esercizio analogo avrei bisogno di un aiuto.
Ho letto questa risposta come altre sempre in questo sito e devo dire che almeno a grandi linee ho capito.
Il problema, nel mio caso, sta nel trovare la successione che maggiori a_n := 1 / ( n·( ln( n ) )^3 ).
O meglio, oltre che la "maggiori", dalla quale possa ricavarne la somma in maniera "semplice" come nel caso
di serie geometriche e/o telescopiche. Qualche idea ? Grazie mille in anticipo.
Ho letto questa risposta come altre sempre in questo sito e devo dire che almeno a grandi linee ho capito.
Il problema, nel mio caso, sta nel trovare la successione che maggiori a_n := 1 / ( n·( ln( n ) )^3 ).
O meglio, oltre che la "maggiori", dalla quale possa ricavarne la somma in maniera "semplice" come nel caso
di serie geometriche e/o telescopiche. Qualche idea ? Grazie mille in anticipo.
Per una serie del genere penso che la cosa migliore sia fare le stime attraverso il criterio integrale.
"Rigel":
Per una serie del genere penso che la cosa migliore sia fare le stime attraverso il criterio integrale.
La ringrazio per la tempestività con cui mi ha risposto.
Dunque, se non vado errando, la strada da seguire è quella esposta a pagina
15 del seguente pdf http://www.dima.unige.it/~astengo/smid/serie.pdf
Diciamo di voler calcolare la somma della serie \(\sum_{n=2}^{\infty} a_n\), con \(a_n = \frac{1}{n \log^3 n}\), a meno di un certo errore \(\epsilon > 0\). (Come è noto tale serie è convergente.)
La funzione \(f(x) := \frac{1}{x \, \log^3 x}\) è positiva e monotona decrescente in \([2, +\infty)\). Poiché \(a_n = f(n)\), avremo che
\[
a_n \leq f(x) \leq a_{n-1} \qquad \forall x\in [n-1, n],
\]
da cui, in particolare, si deduce che
\[
a_n \leq \int_{n-1}^n f(x) \, dx\,.
\]
Di conseguenza, fissato \(N\geq 2\), il resto \(N\)-esimo della serie può essere stimato da
\[
0 < R_N := \sum_{n = N+1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n = N+1}^{\infty} \int_{n-1}^n f(x) \, dx = \int_{N}^{+\infty} f(x) dx.
\]
A questo punto basta calcolare l'ultimo integrale, e determinare \(N\) in modo tale che \(R_N < \epsilon\).
La somma parziale \(S_N := \sum_{n=2}^N a_n\) stimerà dunque la somma della serie con un errore inferiore a \(\epsilon\).
La funzione \(f(x) := \frac{1}{x \, \log^3 x}\) è positiva e monotona decrescente in \([2, +\infty)\). Poiché \(a_n = f(n)\), avremo che
\[
a_n \leq f(x) \leq a_{n-1} \qquad \forall x\in [n-1, n],
\]
da cui, in particolare, si deduce che
\[
a_n \leq \int_{n-1}^n f(x) \, dx\,.
\]
Di conseguenza, fissato \(N\geq 2\), il resto \(N\)-esimo della serie può essere stimato da
\[
0 < R_N := \sum_{n = N+1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n = N+1}^{\infty} \int_{n-1}^n f(x) \, dx = \int_{N}^{+\infty} f(x) dx.
\]
A questo punto basta calcolare l'ultimo integrale, e determinare \(N\) in modo tale che \(R_N < \epsilon\).
La somma parziale \(S_N := \sum_{n=2}^N a_n\) stimerà dunque la somma della serie con un errore inferiore a \(\epsilon\).
"Rigel":
Diciamo di voler calcolare la somma della serie \(\sum_{n=2}^{\infty} a_n\), con \(a_n = \frac{1}{n \log^3 n}\), a meno di un certo errore \(\epsilon > 0\). (Come è noto tale serie è convergente.)
La funzione \(f(x) := \frac{1}{x \, \log^3 x}\) è positiva e monotona decrescente in \([2, +\infty)\). Poiché \(a_n = f(n)\), avremo che
\[
a_n \leq f(x) \leq a_{n-1} \qquad \forall x\in [n-1, n],
\]
da cui, in particolare, si deduce che
\[
a_n \leq \int_{n-1}^n f(x) \, dx\,.
\]
Di conseguenza, fissato \(N\geq 2\), il resto \(N\)-esimo della serie può essere stimato da
\[
0 < R_N := \sum_{n = N+1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n = N+1}^{\infty} \int_{n-1}^n f(x) \, dx = \int_{N}^{+\infty} f(x) dx.
\]
A questo punto basta calcolare l'ultimo integrale, e determinare \(N\) in modo tale che \(R_N < \epsilon\).
La somma parziale \(S_N := \sum_{n=2}^N a_n\) stimerà dunque la somma della serie con un errore inferiore a \(\epsilon\).
Non so veramente più come ringraziarti, sei veramente bravissimo a spiegare. Ora magari mi manderai al diavolo ma ci provo comunque: volevo chiederti se ti viene in mente un modo per escludere tutti i termini superflui perché nonostante ci abbia pensato su un bel po' non trovo un modo efficace per farlo. Grazie
Non ho capito la domanda.
Il resto lo puoi stimare direttamente:
\[
R_N \leq \int_{N}^{+\infty} \frac{1}{x \log^3 x}\, dx = \frac{1}{2\log^2 N}.
\]
Affinché \(R_N < \epsilon\) devi scegliere \(N > \exp(1/\sqrt{2\epsilon})\).
Supponiamo che tu voglia calcolare la somma con un errore inferiore a \(\epsilon = \frac{1}{10}\).
Facendo il calcolo esplicito hai che \(\exp(1/\sqrt{2\epsilon})\simeq 9.35\), dunque ti basta scegliere \(N=10\).
Dunque, con un errore inferiore a \(1/10\), la somma è stimata da
\[
S_{10} = a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} \simeq 1.97.
\]
Il resto lo puoi stimare direttamente:
\[
R_N \leq \int_{N}^{+\infty} \frac{1}{x \log^3 x}\, dx = \frac{1}{2\log^2 N}.
\]
Affinché \(R_N < \epsilon\) devi scegliere \(N > \exp(1/\sqrt{2\epsilon})\).
Supponiamo che tu voglia calcolare la somma con un errore inferiore a \(\epsilon = \frac{1}{10}\).
Facendo il calcolo esplicito hai che \(\exp(1/\sqrt{2\epsilon})\simeq 9.35\), dunque ti basta scegliere \(N=10\).
Dunque, con un errore inferiore a \(1/10\), la somma è stimata da
\[
S_{10} = a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} \simeq 1.97.
\]
"Rigel":
Non ho capito la domanda.
Il resto lo puoi stimare direttamente:
\[
R_N \leq \int_{N}^{+\infty} \frac{1}{x \log^3 x}\, dx = \frac{1}{2\log^2 N}.
\]
Affinché \(R_N < \epsilon\) devi scegliere \(N > \exp(1/\sqrt{2\epsilon})\).
Supponiamo che tu voglia calcolare la somma con un errore inferiore a \(\epsilon = \frac{1}{10}\).
Facendo il calcolo esplicito hai che \(\exp(1/\sqrt{2\epsilon})\simeq 9.35\), dunque ti basta scegliere \(N=10\).
Dunque, con un errore inferiore a \(1/10\), la somma è stimata da
\[
S_{10} = a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} \simeq 1.97.
\]
Ma infatti sono io che non sono stata chiara, scusa.
Ora vedo di essere più chiara, almeno ci provo.
1) L'esercizio chiede di approssimare la somma con errore a meno del centesimo.
Per tal motivo ho applicato il metodo che mi hai esposto e ho trovato N ≥ 1178.
A questo punto ho voluto verificare che ciò sia corretto. Per questo con Mathematica
ho stimato la somma con un numero gigantesco e l'ho confrontata con quella fino a 1178.
Tutto torna alla meraviglia, essa è pari a 2.06 (con questo errore).
2) Non contenta (come è mio carattere) ho voluto seguire il metodo esposto a pagina 15
del pdf che ho linkato sopra (prima della tua risposta illuminante). Però, non so perché ma
con quello trovo N ≥ 7 che evidentemente è errato trovando una somma totalmente sballata.
In sintesi le mie domande sono le seguenti:
1) Quel metodo cos'ha che non va ?
2) In quel pdf quel professore (almeno spero sia un prof che scriva) dice che "ha scelto" il punto
medio per raffinare il metodo e dunque trovare una stima migliore (dell' N). Dunque è possibile
anche al "tuo" metodo apportare qualche tipo di raffinamento ? Oppure N = 1178 è già il valore
minimo per tale approssimazione ?
Spero che ora sia un po' più chiaro tutto il caos che vive in me.
Grazie e buon sabato
Il metodo descritto nella dispensa è corretto, però devi stare attenta al fatto che l'approssimazione non è data da \(S_N\), ma da
\[
S_N^* = S_N + \frac{1}{2}(I_N + I_{N+1}).
\]
In particolare, hai che \(S_7^* \simeq 1.943 + 0.124 = 2.067\).
Questo metodo è più efficiente in quei casi (come questo) in cui l'integrale si può calcolare esplicitamente.
\[
S_N^* = S_N + \frac{1}{2}(I_N + I_{N+1}).
\]
In particolare, hai che \(S_7^* \simeq 1.943 + 0.124 = 2.067\).
Questo metodo è più efficiente in quei casi (come questo) in cui l'integrale si può calcolare esplicitamente.
"Rigel":
Il metodo descritto nella dispensa è corretto, però devi stare attenta al fatto che l'approssimazione non è data da \(S_N\), ma da
\[
S_N^* = S_N + \frac{1}{2}(I_N + I_{N+1}).
\]
In particolare, hai che \(S_7^* \simeq 1.943 + 0.124 = 2.067\).
Questo metodo è più efficiente in quei casi (come questo) in cui l'integrale si può calcolare esplicitamente.
Da questa sera ho un nuovo mito: si chiama Rigel !
Sei riuscito davvero a togliere un bel po' di prosciutto dai miei occhi.
GRAZIE INFINITE !
"Rigel":
Prendiamo la prima serie.
Non è difficile dimostrare che, ad esempio,
\(0 < a_n := \frac{3n+5}{n^3+n+2} < \frac{5}{n(n+1)} \qquad \forall n\geq 3 .\)
Inoltre hai che
\( s = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = s_N + r_N \), con \( s_N = \sum_{n=0}^{N} a_n\), \( r_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n\).
Dalla stima precedente hai che, per ogni $N\ge 2$,
\( r_N < 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 5 \sum_{n=N+1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{5}{N+1}.\)
Di conseguenza, per fare in modo che $s_N$ stimi $s$ con un errore inferiore a $10^{-2}$ basta scegliere $N\ge 2$ tale che $r_N < 10^{-2}$, cioè tale che
\( \frac{5}{N+1} < \frac{1}{100} \),
vale a dire $N > 501$.
Salve a tutti! Non so se ho fatto bene a continuare sotto questa vecchia discussione, ma praticamente ho lo stesso problema della ragazza che ha inviato il primissimo messaggio.
Anch'io devo calocare il numero di termini da sommare per avere un valore della somma con un errore minimo di \(\displaystyle 10^{-2} \), ad esempio di una serie di questo tipo $\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n^3+n^5}$
Della soluzione citata sopra non riesco a capire perchè la serie di Mengoli è maggiorante per ogni $n\ge 3$ (facendo i calcoli mi viene che maggiora per ogni $n\ge 4$) e perchè poi prenda in considerazione per ogni $N\ge 2$
"Rigel":
La somma parziale \(S_N := \sum_{n=2}^N a_n\) stimerà dunque la somma della serie con un errore inferiore a \(\epsilon\).
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