Serie e principio di identità dei polinomi
Salve,
Ho questo esercizio:
-Siano $\alpha$ il numero delle lettere del vostro nome e $\beta$ il numero delle lettere del vostro cognome studiare la seguente serie:
$\sum_{k=1}^(+oo) frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}$
-Mio tentativo di soluzione:
Mi pare ovvio che essendo $\alpha>0$ e $\beta>0$ la serie è a termini positivi.
Ora io calcolerei il limite del termine generale che nel mio caso essendo $\alpha=5$ e $\beta=6$ farei
$lim_{n -> +oo} frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}= lim_{n -> +oo} frac{5n^5}{6n^5}=0$ indeterminata e, non si come continuare (non potevo chiamarmi con un nome più lungo?)
-Soluzione del prof:
Essendo $\alpha>3/2$, per il principio di identità dei polinomi si ha
$lim_{n -> +oo} frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}=frac{\alpha}{\beta}>0
e pertanto la serie diverge.
Dove sbaglio?
Ho questo esercizio:
-Siano $\alpha$ il numero delle lettere del vostro nome e $\beta$ il numero delle lettere del vostro cognome studiare la seguente serie:
$\sum_{k=1}^(+oo) frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}$
-Mio tentativo di soluzione:
Mi pare ovvio che essendo $\alpha>0$ e $\beta>0$ la serie è a termini positivi.
Ora io calcolerei il limite del termine generale che nel mio caso essendo $\alpha=5$ e $\beta=6$ farei
$lim_{n -> +oo} frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}= lim_{n -> +oo} frac{5n^5}{6n^5}=0$ indeterminata e, non si come continuare (non potevo chiamarmi con un nome più lungo?)
-Soluzione del prof:
Essendo $\alpha>3/2$, per il principio di identità dei polinomi si ha
$lim_{n -> +oo} frac{\alphan^\alpha+\betan^(3/2)+12}{\betan^\alpha+\alphan^(\alpha-1)+32}=frac{\alpha}{\beta}>0
e pertanto la serie diverge.
Dove sbaglio?
Risposte
Nei limiti hai scritto [tex]x\to\infty[/tex], immagino sia un errore di battitura e intendessi [tex]n\to\infty[/tex].
Tu scrivi:
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{5n^5}{6n^5} = 0[/tex]
Sicuro che questo limite sia corretto? (Suggerimento: semplifica!)
Tu scrivi:
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{5n^5}{6n^5} = 0[/tex]
Sicuro che questo limite sia corretto? (Suggerimento: semplifica!)
Si, avevo sbagliato io a scrivere $x$ al posto di $n$, ho corretto. Scusami
Per calcolare un limite fratto come quello non devo vedere tra numeratore e denominatore quale è il più grande?
Fa $5/6$?
Per calcolare un limite fratto come quello non devo vedere tra numeratore e denominatore quale è il più grande?
Fa $5/6$?
esatto, perché il grado è lo stesso 
Dato che la successione non è infinitesima, allora la serie associata diverge.
La risoluzione del professore è chiara?
Dato che la successione non è infinitesima, allora la serie associata diverge.
La risoluzione del professore è chiara?
La soluzione del professore dice che qualunque sia $\alpha$ e $\beta$ il limite non farà mai zero. Quindi si può dire che la serie geometrica diverge sempre, giusto?
Serie geometrica? 
Dov'è? Non mi pare di vedere alcuna serie geometrica
Attenzione non dice che per qualunque [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] diverge, dice solo che diverge per [tex]\alpha>\frac{3}{2}[/tex].
[tex]\alpha>\frac{3}{2}[/tex] è un'ipotesi ragionelmente sempre soddisfatta, infatti un nome è sempre composto da più di una lettera e mezza
Per [tex]\alpha=\frac{3}{2}[/tex] secondo te che succederebbe, e per [tex]\alpha<\frac{3}{2}[/tex]?
Dov'è? Non mi pare di vedere alcuna serie geometrica Attenzione non dice che per qualunque [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] diverge, dice solo che diverge per [tex]\alpha>\frac{3}{2}[/tex].
[tex]\alpha>\frac{3}{2}[/tex] è un'ipotesi ragionelmente sempre soddisfatta, infatti un nome è sempre composto da più di una lettera e mezza
Per [tex]\alpha=\frac{3}{2}[/tex] secondo te che succederebbe, e per [tex]\alpha<\frac{3}{2}[/tex]?
é un punto dolente.. non ho capito lui sulle sue dispense scritte a mano e non molto leggibili dice:
Teorema:
se $lim_{n->+00} a_n!=0$ allora $\sum{n=1}^{oo}a_n$ diverge
il limite può essere $L!=0$ oppure $+-oo$
Ma non spiega altro
Teorema:
se $lim_{n->+00} a_n!=0$ allora $\sum{n=1}^{oo}a_n$ diverge
il limite può essere $L!=0$ oppure $+-oo$
Ma non spiega altro
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