Serie e limiti

[VittorioT91]

Salve forum,
sono riuscito a superare lo scritto di analisi 1 e adesso sto preparando l'orale che avrò tra qualche giorno.
L'unico intoppo che ho è di aver passato lo scritto con riserva, cioè dovrò affrontare un ulteriore esercizio prima di fare l'orale e solamente se è giusto svolgere l'orale vero e proprio.

Chiedo l'aiuto di qualche buon anima che abbia il tempo e la voglia di svolgere queste due serie e queste due funzioni, mi sarebbe di grande aiuto, grazie in anticipo!


1) Determinare tutti i valori dei parametri x,y appartenenti ]0, +∞[, per i quali la serie seguente converge:

$\sum_{n=1}^\infty log[1+n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n]$

2) Determinare tutti i valori del parametro x appartenente a ]0, +∞[, per i quali la serie seguente converge:

$\sum_{n=1}^\infty (1/6^n+1/n^(x/2))x^n$

3) Data la funzione

$f(x) = sinh [sqrt(x^2-4x+3)-(2x-1)]$

determinare campo di esistenza X, segno, eventuali asintoti ed insieme immagine f(X).

4) Data la funzione

$f(x) = log x/(x-1)$

determinare campo di esistenza, eventuali asintoti ed intervalli di monotonia della funzione.

[Covenant]

Devi postare un abbozzo di soluzione o almeno idee tue, non siamo qui per svolgere esercizi.
Il consiglio per le serie è sempre lo stesso: ragiona sugli ordini di infinitesimo (ricorda i limiti notevoli) e vedi come variano in funzione dei parametri che hai.
Per quanto riguarda le funzioni, beh sono proprio cose basilari dell'analisi e voglio sperare che tu abbia almeno una minima idea di come procedere per determinare quanto richiesto.

[VittorioT91]

Allora:

1) Non ho idea di come procedere.

2) La prima cosa che mi viene in mente di fare è scomporla nella somma di due serie, quindi:

$\sum_{n=1}^\infty (1/6^n)x^n + \sum_{n=1}^\infty (1/n^(x/2))x^n$

3) Per quanto riguarda questa funzione, il senh è definito in tutto R se non sbaglio, quindi per la definizione del campo di esistenza poniamo il radicando $>= 0$

C.E. $x^2-4x+3>=0$
che ha soluzioni $x<=1;x>=3$

4) In questa funzione il C.E. $x!=1$
Asintoto verticale:
$\lim_{x \to \1}f(x)=0/0$

Per quanto riguarda la derivata prima:
$D=((1/x)(x-1)-(logx)(1))/(x-1)^2 = ((x-1)/xlogx)/(x-1)^2$

[Covenant]

Vediamo cosa si può dire per la prima serie intanto:

$\sum_{n=1}^\infty ln[1+n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n]$.

L'obiettivo è stabilire l'ordine d'infinitesimo del termine generale in funzione dei due parametri. In particolare ricorda che $ln(1+a_n)$ è infinitesimo dello stesso ordine di $a_n$ (come si vede dal limite notevole del logaritmo), ovviamente ammesso che $a_n$ sia un infinitesimo per $ntooo$.

Nel nostro caso allora ci basta determinare l' eventuale ordine di infinitesimo di $a_n = n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n$ in funzione di $x$ e $y$. Esso è prodotto di due fattori:

il fattore $(1-cos(n^-y))$ è infinitesimo d'ordine $2y \ \ AA \ y in (0,+oo)$, come puoi ricavare dal limite notevole del coseno.
L'altro fattore è $x^n*n^(-1/3)$. Qui bisogna discriminare tre casi:
Se $x>1$ allora $x^n*n^(-1/3)$ è un infinito d'ordine superiore a qualsiasi potenza di $n$.
Se $x<1$ allora $x^n*n^(-1/3)$ è un infinitesimo d'ordine superiore a qualsiasi potenza di $1/n$.
Se $x=1$ il fattore diventa semplicemente $n^(-1/3)$ che ovviamente è infinitesimo d'ordine $1/3$.

Quindi complessivamente del termine $n^(-1/3)(1-cos(n^-y))x^n$ e $AA \ y in (0,+oo)$ (per quanto detto all'inizio le considerazioni qui esposte valgono anche per il termine generale) si può dire che:

Se $x>1$ è un infinito. La serie quindi non converge.
Se $x<1$ è infinitesimo, in particolare d'ordine superiore a qualsiasi potenza di $1/n$. La serie quindi converge.
Se $x=1$ è infinitesimo d'ordine $1/3+2y$. Perchè ci sia convergenza deve essere $1/3+2y>1 => y>1/3$. In questo caso c'è quindi convergenza se: $x=1$ e $y>1/3$ e divergenza se: $x=1$ e $y<=1/3$.

Riassumendo: la serie converge per i seguenti valori dei parametri:
$0 $x=1, y>1/3$

[VittorioT91]

Grazie covenant, sei riuscito a farmi capire come svolgere questo tipo di serie con due parametri...
In poche parole bisogna trattare separatamente i parametri e studiare il loro comportamento separatamente!
Per quanto riguarda la seconda serie, potrebbe essere corretto usare la serie geometrica?

[Covenant]

"VittorioT91":Grazie covenant, sei riuscito a farmi capire come svolgere questo tipo di serie con due parametri...
In poche parole bisogna trattare separatamente i parametri e studiare il loro comportamento separatamente!
Per quanto riguarda la seconda serie, potrebbe essere corretto usare la serie geometrica?

io ragionerei in modo simile a quanto fatto prima.

Osserva che il fattore $(1/6^n+1/n^(x/2))$ è somma di due infinitesimi per $ntooo$. In particolare $1/6^n$ al solito è infinitesimo d'ordine maggiore di qualsiasi potenza di $1/n$ mentre $1/n^(x/2)$ è infinitesimo d'ordine $x/2 \ AA \ x in (0,+oo)$. Dalla teoria degli infinitesimi dovresti sapere che l'ordine d'infinitesimo "totale" di quella somma è dato dall' ordine di infinitesimo minimo tra gli ordini degli addendi. In questo caso ovviamente è $x/2$.
Per l'altro fattore $x^n$ valgono le stesse considerazioni fatte per l'altra serie.
Cioè se $x>1$ esso è un infinito d'ordine maggiore di qualsiasi potenza di $n$ e quindi la serie diverge.
Se $x<1$ esso è un infinitesimo d'ordine maggiore di qualsiasi potenza di $1/n$ e quindi la serie converge
Se $x=1$ allora quel fattore vale $1$ e il termine generale sarà semplicemente infinitesimo d'ordine $1/2$ (poichè l'ordine d'infinitesimo sarebbe solo quello dato dall'altro fattore e cioè $x/2$ ma $x=1$) e la serie diverge.

In definitiva la serie converge per $0

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[VittorioT91]

Perfetto, ragionando in modo da comparare l'ordine degli infinitesimi sto notando che è molto più facile risolvere le serie...per quanto riguarda lo studio di funzioni, le ho approcciate nel modo giusto?

[VittorioT91]

"VittorioT91":

3) Data la funzione

$f(x) = sinh [sqrt(x^2-4x+3)-(2x-1)]$

determinare campo di esistenza X, segno, eventuali asintoti ed insieme immagine f(X).

4) Data la funzione

$f(x) = log x/(x-1)$

determinare campo di esistenza, eventuali asintoti ed intervalli di monotonia della funzione.

"VittorioT91":

3) Per quanto riguarda questa funzione, il senh è definito in tutto R se non sbaglio, quindi per la definizione del campo di esistenza poniamo il radicando $>= 0$

C.E. $x^2-4x+3>=0$
che ha soluzioni $x<=1;x>=3$

4) In questa funzione il C.E. $x!=1$
Asintoto verticale:
$\lim_{x \to \1}f(x)=0/0$

Per quanto riguarda la derivata prima:
$D=((1/x)(x-1)-(logx)(1))/(x-1)^2 = ((x-1)/xlogx)/(x-1)^2$

Scusate ragazzi, qualcuno potrebbe dirmi come continuare questi studi di funzione e se sto procedendo nel verso giusto?

[VittorioT91]

Ragazzi per favore! è un tantino urgente adesso...

[gugo82]

L'insieme di definizione di 4 è sbagliato, sia se \(f(x)=\frac{\log x}{x-1}\) sia se \(f(x)=\log \frac{x}{x-1}\).

[VittorioT91]

Bisogna tenere in considerazione anche il logaritmo allora?
In tal caso sarebbe $x>0$ e $x!=1$?

[Covenant]

già, in $x=1$ in particolare hai una discontinuità eliminabile.