Serie e limite

[MaxMat1]

Ho questa serie:


$ (n!)/ ((2n)!) $

Usando il criterio del rapporto si arriva, dopo qualche semplificazione a:

$((n!)(n+1)) / ((2n+1)(2n+2))$

Perchè questo limite(per n che va a infinito) viene zero?(letto sui miei appunti)

[Rigel1]

Suppongo che il denominatore sia $(2n)!$, e non $2n!$ (nel qual caso il termine generale della serie varrebbe sempre $1/2$).
Applicando il criterio del rapporto arrivi a
$\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}$,
che tende a $0$ per $n\to +\infty$.

[MaxMat1]

"Rigel":Suppongo che il denominatore sia $(2n)!$, e non $2n!$ (nel qual caso il termine generale della serie varrebbe sempre $1/2$).
Applicando il criterio del rapporto arrivi a
$\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}$,
che tende a $0$ per $n\to +\infty$.

Grazie per la risposta, mi sono accorto dell'errore prima di leggerti e stavo per rispondermi io stesso, scusatemi.

Nei miei appunti mancava un n! al denominatore(che non semplificava quindi quello al numeratore)

Grazie e scusatemi ancora

p.s.
Si era (2n)! ma non so perchè l'editor delle formule me lo ha messo in quel modo...

[gugo82]

Potresti anche tener presente che [tex]$(2n)! =(2n)!!\ (2n-1)!!=2^n n!\ (2n-1)!!$[/tex], semplificare ed usare il confronto o il confronto asintotico.


P.S.: Il numero [tex]$m!!$[/tex], detto fattoriale doppio di [tex]$m$[/tex], è definito come il prodotto di tutti i numeri [tex]$\leq m$[/tex] che hanno la stessa parità di [tex]$m$[/tex] (ossia, il prodotto di tutti i numeri pari [tex]$\leq m$[/tex] se [tex]$m$[/tex] è pari; oppure il prodotto di tutti i numeri dispari [tex]$\leq m$[/tex] se [tex]$m$[/tex] è dispari).
Perciò:

[tex]$(2n)!!=2n\cdot (2n-2)\cdot (2n-4)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$[/tex]
[tex]$=\underbrace{2n\cdot 2(n-1)\cdot 2(n-2)\cdot \ldots \cdot 2\ 2\cdot 2\ 1}_{\text{$n$ fattori moltiplicati per $2$}}$[/tex]
[tex]$=2^n\ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1=2^n\ n!$[/tex].

P.P.S.: @MaxMat: Ho aggiunto le parentesi mancanti con i miei superpoteri da mod; spero non ti dispiaccia.
Ad ogni modo, puoi farlo anche tu usando il tastino Modifica, che trovi in alto a destra vicino ad ogni tuo post.

[MaxMat1]

"gugo82":Potresti anche tener presente che [tex]$(2n)! =(2n)!!\ (2n-1)!!=2^n n!\ (2n-1)!!$[/tex], semplificare ed usare il confronto o il confronto asintotico.


P.S.: Il numero [tex]$m!!$[/tex], detto fattoriale doppio di [tex]$m$[/tex], è definito come il prodotto di tutti i numeri [tex]$\leq m$[/tex] che hanno la stessa parità di [tex]$m$[/tex] (ossia, il prodotto di tutti i numeri pari [tex]$\leq m$[/tex] se [tex]$m$[/tex] è pari; oppure il prodotto di tutti i numeri dispari [tex]$\leq m$[/tex] se [tex]$m$[/tex] è dispari).
Perciò:

[tex]$(2n)!!=2n\cdot (2n-2)\cdot (2n-4)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$[/tex]
[tex]$=\underbrace{2n\cdot 2(n-1)\cdot 2(n-2)\cdot \ldots \cdot 2\ 2\cdot 2\ 1}_{\text{$n$ fattori moltiplicati per $2$}}$[/tex]
[tex]$=2^n\ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1=2^n\ n!$[/tex].

P.P.S.: @MaxMat: Ho aggiunto le parentesi mancanti con i miei superpoteri da mod; spero non ti dispiaccia.
Ad ogni modo, puoi farlo anche tu usando il tastino Modifica, che trovi in alto a destra vicino ad ogni tuo post.

Per carità, anzi adesso ho imparato come avrei dovuto fare...grazie