Serie e Integrale da paura
Salve ragazzi e ragazze,
sono nuovo di questo forum, e sono quì perchè sono abbastanza in crisi su due esercizi che non riesco proprio a fare.. Uno riguarda una serie e l'altro un'integrale. Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi!!! Vi ringrazio sin da ora..
In entrambi i casi bosogna dire per quali valori di alpha la serie e l'integrale convergono.
sono nuovo di questo forum, e sono quì perchè sono abbastanza in crisi su due esercizi che non riesco proprio a fare.. Uno riguarda una serie e l'altro un'integrale. Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi!!! Vi ringrazio sin da ora..
In entrambi i casi bosogna dire per quali valori di alpha la serie e l'integrale convergono.
Risposte
L'integrale si può spezzare così:
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x} (x-1)^{-\alpha} \sqrt{x+1}} dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x}(x - 1)^{- \alpha} \sqrt{x+1}} dx$
La prima parte si può confrontare con $x^{-\frac{1}{2}}$, e si vede che converge per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$.
Il secondo integrale è improprio in $1$, e per $x \to 1$ la funzione integranda si può confrontare con $(x - 1)^{2 + \alpha} = \frac{1}{(x -1)^{-2 - \alpha}}$
Dato che
$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x -1)^{-2 - \alpha}} dx$
converge per $-2 -\alpha < 1$, l'integrale richiesto converge per $\alpha > -3$.
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x} (x-1)^{-\alpha} \sqrt{x+1}} dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x}(x - 1)^{- \alpha} \sqrt{x+1}} dx$
La prima parte si può confrontare con $x^{-\frac{1}{2}}$, e si vede che converge per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$.
Il secondo integrale è improprio in $1$, e per $x \to 1$ la funzione integranda si può confrontare con $(x - 1)^{2 + \alpha} = \frac{1}{(x -1)^{-2 - \alpha}}$
Dato che
$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x -1)^{-2 - \alpha}} dx$
converge per $-2 -\alpha < 1$, l'integrale richiesto converge per $\alpha > -3$.
per l'integrale lo dividi in 2 parti: tra 0 e 1/2 e tra 1/2 e 1 ottenendo:
$int_0^(1/2)1/sqrt(x)*dx$
e
$int_(1/2)^1arctan(x-1)^2/(x-1)^(-alpha)*dx$
l'argomento dell'arctan tende a 0, lo sviluppi in serie di Taylor e ottieni
$int_(1/2)^1 1/(x-1)^(-2-alpha)*dx$
$int_0^(1/2)1/sqrt(x)*dx$
e
$int_(1/2)^1arctan(x-1)^2/(x-1)^(-alpha)*dx$
l'argomento dell'arctan tende a 0, lo sviluppi in serie di Taylor e ottieni
$int_(1/2)^1 1/(x-1)^(-2-alpha)*dx$
battuta sul tempo
"Tipper":
la funzione integranda si può confrontare con $(x - 1)^{2 + \alpha} = \frac{1}{(x -1)^{-2 - \alpha}}$
come si vede?
Calcolando il limite
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x} (x-1)^{-\alpha} \sqrt{x+1}}}{\frac{1}{(x-1)^{-2 -\alpha}}}$
e sfruttando un paio di limiti notevoli.
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{"arctg"(x-1)^2}{\sqrt{x} (x-1)^{-\alpha} \sqrt{x+1}}}{\frac{1}{(x-1)^{-2 -\alpha}}}$
e sfruttando un paio di limiti notevoli.
grazie per quelli che hanno risposto fino ad ora.. tutte info utilissime 
ps: come hai fatto a scriverle in quel modo?
in realtà ho scannerizzato un foglio..
ma si possono facilmente realizzare formule ben formattate usando LaTeX.. x maggiori info guardate questi due link:
http://www.latex-project.org/
http://it.wikipedia.org/wiki/LaTeX
Faccio notare che è un software libero, quindi perchè non approfittarne?
ma si possono facilmente realizzare formule ben formattate usando LaTeX.. x maggiori info guardate questi due link:
http://www.latex-project.org/
http://it.wikipedia.org/wiki/LaTeX
Faccio notare che è un software libero, quindi perchè non approfittarne?
Non ho visto che era un immagine, comunque il linguaggio di Latex lo si utilizza anche su questo forum, anche se l'effetto grafico non è lo stesso
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