Serie e immagine: come si risolvono
Chiedo scusa infinitamente 
ma mi sto preparando per l'esame di Analisi Matematica 1 
:
Serie:
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^nk!}/{\sum_{k=1}^n n^n}$
$\lim_{n\to+\infty}{\log(n!)}/{\sum_{k=1}^n log(k^2 +1)}$
$\sum_{k=1}^(infty) cos(1/k)*log((k+2)/(k+1))$ dire se è convergente? Qualunque sia la risposta dire il Perchè.
$\sum_{k=1}^(infty) arctan(k)*log((k+2)/(k+1))$ dire se è convergente? Qualunque sia la risposta dire il Perchè.
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^n k^k}/{\n^n +n!}$
Immagine: che cosa si intende per immagine della funzione questo argomento non mi è del tutto chiaro? Mi spegate per favore mi bastano i principi per determinare l'immagine di tali funzioni
1) f(x) = $\{e^(-1/(2x^2))}/{x^2 +1}$ e stabilire il numero di soluzioni di f(x) = 1/2*(pigreca)
ma mi sto preparando per l'esame di Analisi Matematica 1 :Serie:
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^nk!}/{\sum_{k=1}^n n^n}$
$\lim_{n\to+\infty}{\log(n!)}/{\sum_{k=1}^n log(k^2 +1)}$
$\sum_{k=1}^(infty) cos(1/k)*log((k+2)/(k+1))$ dire se è convergente? Qualunque sia la risposta dire il Perchè.
$\sum_{k=1}^(infty) arctan(k)*log((k+2)/(k+1))$ dire se è convergente? Qualunque sia la risposta dire il Perchè.
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^n k^k}/{\n^n +n!}$
Immagine: che cosa si intende per immagine della funzione questo argomento non mi è del tutto chiaro? Mi spegate per favore mi bastano i principi per determinare l'immagine di tali funzioni
1) f(x) = $\{e^(-1/(2x^2))}/{x^2 +1}$ e stabilire il numero di soluzioni di f(x) = 1/2*(pigreca)
Risposte
Allora? Come siam messi? Scusate la mia fretta. Grazie!!!!
L'immagine tramite $f: A \to B$ dell'insieme $A' \subseteq A$ è semplicemente l'insieme
$f(A')=\{f(x), x \in A'\}$
$f(A')=\{f(x), x \in A'\}$
Si grazie ma mi potresti per favore dare la definizione dell'immagine 
? e gli esercizi delle serie riesci a risolvermeli 
? perchè martedì questo ho l'esame di analisi e non vorrei bucarlo per la 3° volta 
. Grazie per il vostro possibile aiuto futuro. Buon Appetito.
? e gli esercizi delle serie riesci a risolvermeli ? perchè martedì questo ho l'esame di analisi e non vorrei bucarlo per la 3° volta . Grazie per il vostro possibile aiuto futuro. Buon Appetito.
L'immagine o codominio di una funzione è l'insieme dei valori assunti dalla variabile dipendente (y), al variare della variabile indipendente ( x ) nel suo dominio.
Es
* $y = sin x ; $ dominio : R ; immagine :$ [-1, +1]$ ,
* $ y = ln x $ ; dominio $(0, +oo) $ ; immagine : $ (-oo, +oo ) $.
* $ y = sqrt(x-2) $ ; dominio : $[2, +oo) $ ; immagine : $ [0, +oo) $.
Ok ?
Venendo adesso alla funzione specifica per dare una risopsta corretta a quale sia la sua immagine bisogna fare lo studio della funzione stessa .
In sintesi si vede che la funzione è pari e che $lim_(x rarr 0) f(x) = 0^+$ ; inoltre la funzione ha due massimi assoluti pari circa a 0.2 .
Quindi mentre il dominio è : $ (- oo , 0) U ( 0, +oo ) $ l'immagine è : $ (0, 0.2] $ con 0.2 valore approssimato.
Per irspondere all'ultima domanda , cioè quante soluzioni ha l'equazione : $ f(x) = 1/(2*pi) $ bisogna fare il grafico
di f(x ) e tracciare la retta orixxontale di equazione : $ y = 1/(2*pi) $ e vedere quante intersezioni ci sono.
Si vede facilmente che le intersezioni sono 4 che sono il numero di soluzioni dell'equazione $ f(x) = 1/(2*pi )$ .
Es
* $y = sin x ; $ dominio : R ; immagine :$ [-1, +1]$ ,
* $ y = ln x $ ; dominio $(0, +oo) $ ; immagine : $ (-oo, +oo ) $.
* $ y = sqrt(x-2) $ ; dominio : $[2, +oo) $ ; immagine : $ [0, +oo) $.
Ok ?
Venendo adesso alla funzione specifica per dare una risopsta corretta a quale sia la sua immagine bisogna fare lo studio della funzione stessa .
In sintesi si vede che la funzione è pari e che $lim_(x rarr 0) f(x) = 0^+$ ; inoltre la funzione ha due massimi assoluti pari circa a 0.2 .
Quindi mentre il dominio è : $ (- oo , 0) U ( 0, +oo ) $ l'immagine è : $ (0, 0.2] $ con 0.2 valore approssimato.
Per irspondere all'ultima domanda , cioè quante soluzioni ha l'equazione : $ f(x) = 1/(2*pi) $ bisogna fare il grafico
di f(x ) e tracciare la retta orixxontale di equazione : $ y = 1/(2*pi) $ e vedere quante intersezioni ci sono.
Si vede facilmente che le intersezioni sono 4 che sono il numero di soluzioni dell'equazione $ f(x) = 1/(2*pi )$ .
Ecco il grafico
Grazie per la spiegazione di che cos'è una immagine. Cris Buonagiornata.
E quelle di sopra come si risolvono le serie intendo?
LA prima seria mi sembra di avertela già spiegata in un altro tuo post...
Veniamo alle altre due:
$\sum_{k=1}^{+\infty}\cos(1/k)\log((k+2)/(k+1))\approx\sum_{k=1}^{\infty}1/(k+1)\approx\sum_{k=1}^{\infty}1/k\to+\infty$ essendo la nostra serie asintotica a quella armonica.
Per quanto riguarda invece l'ultima, si ha:
$\sum_{k=1}^{+\infty}\text{arctan}(k)\log((k+2)/(k+1))\approx\pi/2\sum_{k=1}^{+\infty}1/(k+1)\approx\pi/2\sum_{k=1}^{\infty}1/k\to+\infty
Veniamo alle altre due:
$\sum_{k=1}^{+\infty}\cos(1/k)\log((k+2)/(k+1))\approx\sum_{k=1}^{\infty}1/(k+1)\approx\sum_{k=1}^{\infty}1/k\to+\infty$ essendo la nostra serie asintotica a quella armonica.
Per quanto riguarda invece l'ultima, si ha:
$\sum_{k=1}^{+\infty}\text{arctan}(k)\log((k+2)/(k+1))\approx\pi/2\sum_{k=1}^{+\infty}1/(k+1)\approx\pi/2\sum_{k=1}^{\infty}1/k\to+\infty
E' vero che questo limite viene 1? A me viene 1. Non so se ho sbagliato lo sviluppo di in serie di Taylor.
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
E questa quanto viene non sono riuscito a farlo perchè mi ha spaventato l'esponente!
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
E questa quanto viene non sono riuscito a farlo perchè mi ha spaventato l'esponente!
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
E' vero che questo limite viene 1? A me viene 1. Non so se ho sbagliato lo sviluppo di in serie di Taylor.
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
E questa quanto viene non sono riuscito a farlo perchè mi ha spaventato l'esponente! Mi spaventa anzi tutto il limite.
$\lim_{n\to+\0}{\(1+(1/sinx))^((1-cosx)/(sinx))}$
Non so proprio come si fa! Aiuto!
$\lim_{n\to+\0}{\sin(x+((x^3)/3)-arcsinx}/{\x-sinx}$
E questa quanto viene non sono riuscito a farlo perchè mi ha spaventato l'esponente! Mi spaventa anzi tutto il limite.
$\lim_{n\to+\0}{\(1+(1/sinx))^((1-cosx)/(sinx))}$
Non so proprio come si fa! Aiuto!
Chiedo scusa se ho scritto male queste due cose perchè ho avuto problemi con il pc. Mi si è disattivato il firewall!!!!! cOme mai? Devo formattarlo speriamo di no comuque controlla temi anche queste dyue grazie.
Allora? Coe siam messi?
Mi potreste spiegare passaggio per passagio le ultime serie che mi hai risolto? Perchè viene circa uguale a $\1/(k+1)$ questa serie?
$\sum_{k=1}^(infty) cos(1/k)*log((k+2)/(k+1))$
Spiegatemi i passaggi per favore
Grazie
Cris
$\sum_{k=1}^(infty) cos(1/k)*log((k+2)/(k+1))$
Spiegatemi i passaggi per favore
Grazie
Cris
Basta utilizzare gli sviluppi di MacLaurin...
Ho provato a calcolarequesta serie: viene uguale a 0?
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^n(2k+k^2+k!)}/{\(n+1)!}$
$\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^n(2k+k^2+k!)}/{\(n+1)!}$
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