Serie e derivate
Faccio un altro tentativo....
Sia $f:[0,+\infty[ \rightarrow mathbb{R}$, derivabile nel suo dominio con $f'\geq0$.
Supponendo che $f'$ sia decrescente, dimostrare che la serie $\sum_{k=0}^{n} f'(k)$ converge se $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) \in \mathbb{R}$, altrimenti diverge.
Non saprei come risolverlo; bisogna però considerare che vi sono dei suggerimenti per guidare alla risoluzione:
I) studiare la convergenza della serie $\sum_{k=0}^{n} [f(k+1)-f(k)]$
II) esprimere il termine generico di tale serie mediante $f'$
III)concludere confrontando la serie così ottenuta con le seguenti:
$\sum_{k=0}^{n} f'(k)$ e $\sum_{k=0}^{n} f'(k+1)$
Iniziando da I):
Ho considerato che si ha $f(k+1)-f(k) \geq 0$ (perché la derivata è positiva); mi occorre dimostrare che il termine generale è infinitesimo (e in tal caso anche decrescente definitivamente):
potrei a tal proposito affermare che da $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) \in \mathbb{R}$ deriva che $lim_{k \rightarrow + \infty} f(k)=lim_{k \rightarrow + \infty} f(k+1)=l \in \mathbb{R}$ e quindi il termine generale è infinitesimo?
Sia $f:[0,+\infty[ \rightarrow mathbb{R}$, derivabile nel suo dominio con $f'\geq0$.
Supponendo che $f'$ sia decrescente, dimostrare che la serie $\sum_{k=0}^{n} f'(k)$ converge se $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) \in \mathbb{R}$, altrimenti diverge.
Non saprei come risolverlo; bisogna però considerare che vi sono dei suggerimenti per guidare alla risoluzione:
I) studiare la convergenza della serie $\sum_{k=0}^{n} [f(k+1)-f(k)]$
II) esprimere il termine generico di tale serie mediante $f'$
III)concludere confrontando la serie così ottenuta con le seguenti:
$\sum_{k=0}^{n} f'(k)$ e $\sum_{k=0}^{n} f'(k+1)$
Iniziando da I):
Ho considerato che si ha $f(k+1)-f(k) \geq 0$ (perché la derivata è positiva); mi occorre dimostrare che il termine generale è infinitesimo (e in tal caso anche decrescente definitivamente):
potrei a tal proposito affermare che da $lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) \in \mathbb{R}$ deriva che $lim_{k \rightarrow + \infty} f(k)=lim_{k \rightarrow + \infty} f(k+1)=l \in \mathbb{R}$ e quindi il termine generale è infinitesimo?
Risposte
Sì, il termine generale è infinitesimo, ma puoi dire di più, infatti $\sum_{k=0}^{+infty} [f(k+1)-f(k)]$ è una serie telescopica, quindi...
"_fabricius_":
Sì, il termine generale è infinitesimo, ma puoi dire di più, infatti $\sum_{k=0}^{+infty} [f(k+1)-f(k)]$ è una serie telescopica, quindi...
Ma lol, hai ragione! Si ha che $\sum_{k=0}^{+infty} [f(k+1)-f(k)]= \lim_{n \rightarrow +\infty} [f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+ \cdots f(n+1)- f(n)]=\lim_{n \rightarrow +\infty} [f(n+1)-f(0)]\in RR$, perché la funzione va da $[0,+\infty[$ a $RR$.
Quindi la serie converge (se non ho sbagliato qualche considerazione)..
Ora devo esprimerne il termine generico mediante $f'$.... Cerco di capire cosa significhi e ci penso un po' su magari..
Grazie mille della risposta
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