Serie e criterio di leibniz di maggiorazione del resto
Salve,
per applicare il criterio di maggiorazione del resto di leibniz so che la serie deve essere descrescente, e deve essere positiva.
Ora, posso dedurre a priori in qualche modo che la serie $(-1)^n * 3^n/(2^n*n!)$ sicuramente decresce?
Oppure che operazione posso fare magari per evitarmi di farmi tutti i calcoli ?
per applicare il criterio di maggiorazione del resto di leibniz so che la serie deve essere descrescente, e deve essere positiva.
Ora, posso dedurre a priori in qualche modo che la serie $(-1)^n * 3^n/(2^n*n!)$ sicuramente decresce?
Oppure che operazione posso fare magari per evitarmi di farmi tutti i calcoli ?
Risposte
$3^n/(2^n*n!)<= (3/2)^2*1/(n)$ quindi la successione è monotona decrescente tendente a zero. E la serie dei moduli è una serie abbastanza usata e la somma si dimostra essere $e^(3/2)$.
In base alla prima affermazione puoi applicare il criterio di Leibniz.
$3/2 =1,5$
$3^n/(2^n*n!)= (1,5)^n/(n!) = ((1,5) /n * ((1,5)/(n-1)*..........*(1,5)/3 *(1,5)/2) *(1,5)/1)<= (1,5)^2/n$
$((1,5)/(n-1)*..........*(1,5)/3 *(1,5)/2)<1$ per $n>=3$
In base alla prima affermazione puoi applicare il criterio di Leibniz.
$3/2 =1,5$
$3^n/(2^n*n!)= (1,5)^n/(n!) = ((1,5) /n * ((1,5)/(n-1)*..........*(1,5)/3 *(1,5)/2) *(1,5)/1)<= (1,5)^2/n$
$((1,5)/(n-1)*..........*(1,5)/3 *(1,5)/2)<1$ per $n>=3$
Quindi l'hai maggiorata con una serie che sai che tende a zero?
Perchè io come successioni note a termini positivi ho studiato solo serie armonica, telescopica e geometrica, non si riesce a dimostrare con una di queste note?
Quindi in genere l'unica per evitarsi calcoli e scoprire una serie nota che se la trascini verso il basso?
Perchè io come successioni note a termini positivi ho studiato solo serie armonica, telescopica e geometrica, non si riesce a dimostrare con una di queste note?
Quindi in genere l'unica per evitarsi calcoli e scoprire una serie nota che se la trascini verso il basso?
No, non l'ho maggiorata con una serie che converge, ho applicato il criterio di Lebniz.
Non ho capito però quei calcoli di sopra, cioè come hai dimostrato appunto che sia decrescente? non riesco a capirlo.
Pensavo fossero chiari 
Basta che rifletti su cosa significa la potenza ennesima di un numero.
Poi pensa a come è fatto il fattoriale di $n$. Aggiorna la pagina forse non hai visto le modifiche. Poi applica la legge di cancellazione per le disguaglianze.
Dentro la parentesi più interna hai un numero sempre minore di uno quando $n >=3$.
Basta che rifletti su cosa significa la potenza ennesima di un numero. Poi pensa a come è fatto il fattoriale di $n$. Aggiorna la pagina forse non hai visto le modifiche. Poi applica la legge di cancellazione per le disguaglianze.
Dentro la parentesi più interna hai un numero sempre minore di uno quando $n >=3$.
Domanda:
Ma quindi possiamo semplificare $3^n/(2^n)$ con un $1.5^n$ e quindi semplicemente ritrovarci con un esponenziale fratto un fattoriale e dire semplicemente che tende a zero perchè il fattoriale è "più grande" ?
Ma quindi possiamo semplificare $3^n/(2^n)$ con un $1.5^n$ e quindi semplicemente ritrovarci con un esponenziale fratto un fattoriale e dire semplicemente che tende a zero perchè il fattoriale è "più grande" ?
Quello che dice è esatto, ma io te ne ho dato anche la dimostrazione sopra, e ti dimostro che quella successione tende a zero perchè è maggiorabile con una che sotanzialmente è l'inverso di $n$, la quale tende a zero per $n$ che tende a infinito e dimostrato questo puoi applicare leibniz, e chiudere il discorso.
Daccordo ma senza fare dimosrazioni se so che la serie tende a zero, so che è sempre positiva, questo implica già di suo che è decrescente? Oppure me lo devo dimostrare a parte?
Ma una serie non tende, converge semmai, è lo stesso errore che hai ripetuto sopra su cui ho sorvolato, ma vedendo che insisti a dire che una serie tende etc etc, mi viene il dubbio che tu non abbia ben chiaro il concetto di successione che tende a qualcosa, e di serie che converge a qualcosa, cioè non si dice che una serie tende ma solo che converge.
Se sai che una serie converge a priori, chiaramente il criterio di cauchy ti mostra che la successione dei termini della serie medesima deve necessariamente tendere a zero questo si, e in quella serie puoi anche dirlo, visto che la somma è $e^(-3/2)$.
Ma non eri partito dal volerlo dimostrare con leibniz? E comunque anche il fatto che la somma esista si dovrà pur dimostrarlo in qualche modo, poi, che questa somma è un potenza di $e$ con esponente razionale, non è immediata la dimostrazione, devi partire dalla definizione di esponenziale etc etc.
Se sai che una serie converge a priori, chiaramente il criterio di cauchy ti mostra che la successione dei termini della serie medesima deve necessariamente tendere a zero questo si, e in quella serie puoi anche dirlo, visto che la somma è $e^(-3/2)$.
Ma non eri partito dal volerlo dimostrare con leibniz? E comunque anche il fatto che la somma esista si dovrà pur dimostrarlo in qualche modo, poi, che questa somma è un potenza di $e$ con esponente razionale, non è immediata la dimostrazione, devi partire dalla definizione di esponenziale etc etc.
Ma la serie dei moduli che citi tu, potrebbe essere la serie armonica alternata che ho riportato io sulla teoria? che dice che è una serie decrescente?
A me la segna come sommatoria di $(-1)^(n-1) * 1/n$
Ma a questo punto perchè moltiplichi $1/n * (3/2)^2$ ? Non basta già maggiorarla con $1/n$? ed il termine oscillatorio $(-1)^(n-1)$ non si prende in considerazione? o sto facendo confusione totale?
A me la segna come sommatoria di $(-1)^(n-1) * 1/n$
Ma a questo punto perchè moltiplichi $1/n * (3/2)^2$ ? Non basta già maggiorarla con $1/n$? ed il termine oscillatorio $(-1)^(n-1)$ non si prende in considerazione? o sto facendo confusione totale?
Se è dei moduli o valori assoluti, non può essere alternata. Ma cos'è una serie decrescente? Stai facendo una confusione della madonna. Sinceramente non ti seguo. Rivediti i teoremi, perchè altrimenti non comprendi le risposte che ti ho dato. Ciao alla prox.
Io me la sto rivedendo la teoria, il problema è che non riesco a motivare in nessun modo il tuo calcolo. Non lo riesco proprio a capire, forse non avrò le basi adatte per capirle.
Cioè $1/n$ è la serie armonica, che preso dalla definizione dice che:
"La successione delle sue somme parziali è monotona e strettamente crescente rispetto alla variabile rappresentata dal numero di addendi, e il suo carattere è divergente"
Quindi è una serie crescente.
(3/2)^2 è una costante. Una cosa che cresce, per una costante, non continua comunque a crescere anzi anche più velocemente?
Quindi come fai a dire che diverge?
Probabilmente mi sfugge qualcosa in quel calcolo, ma cosa?
Cioè $1/n$ è la serie armonica, che preso dalla definizione dice che:
"La successione delle sue somme parziali è monotona e strettamente crescente rispetto alla variabile rappresentata dal numero di addendi, e il suo carattere è divergente"
Quindi è una serie crescente.
(3/2)^2 è una costante. Una cosa che cresce, per una costante, non continua comunque a crescere anzi anche più velocemente?
Quindi come fai a dire che diverge?
Probabilmente mi sfugge qualcosa in quel calcolo, ma cosa?
Ho aggiunto qualcosa nei calcoli sopra, puoi vedere se li comprendi ora. Una successione che cresce, anche strettamente, non deve per forza divergere a $+oo$.
Prendi questa successione $n/(n+1)$, cresce strettamente, ma il limite è $1$.
Continui a parlare di serie crescente, io non l'ho mai sentita nominare, non posso giurarci ovviamente, ma credo che nel linguaggio matematico non esista una espressione di quel tipo.
La serie converge o diverge, poi qui c'è un po di confusione, qualche aggiunta, chi parla di serie determinata quando la somma è finita o infinita, e indeterminata negli altri casi, e quando diverge s'intende a infinito, alcuni usano diverge per dire che non converge. Comunque è sempre e solo la successione delle sue somme parziali che cresce o decresce oppure no.
Prendi questa successione $n/(n+1)$, cresce strettamente, ma il limite è $1$.
Continui a parlare di serie crescente, io non l'ho mai sentita nominare, non posso giurarci ovviamente, ma credo che nel linguaggio matematico non esista una espressione di quel tipo.
La serie converge o diverge, poi qui c'è un po di confusione, qualche aggiunta, chi parla di serie determinata quando la somma è finita o infinita, e indeterminata negli altri casi, e quando diverge s'intende a infinito, alcuni usano diverge per dire che non converge. Comunque è sempre e solo la successione delle sue somme parziali che cresce o decresce oppure no.
"regim":
Ho aggiunto qualcosa nei calcoli sopra, puoi vedere se li comprendi ora. Una successione che cresce anche strettamente, non deve per forza divergere a $+oo$.
Prendi questa successione $n/(n+1)$, cresce strettamente, ma il limite è $1$.
Continui a parlare di serie crescente, io non l'ho mai sentita nominare, non posso giurarci ovviamente, ma credo che nel linguaggio matematico non esista una espressione di quel tipo.
La serie converge o diverge. E' la successione delle sue somme parziali che cresce o decresce oppure no.
Mi sfugge ancora perchè nella prima disuguaglianza c'è quell'elevamente al quadrato.
Sarà che è un ragionamento che io non farei.
Io ho provato a fare quest'altro ragionamento invece, dimmi se è giusto (ok, non lo dimostra chiaramente, ma credo che un pò lo motiva comunque il risultato):
Questa serie è decrescente, ovvero $b_n > b_(n+1)$ perchè $2^n$ è un esponenziale ed è crescente, anche $n!$ è crescente, quindi il prodotto delle due è crescente.
Trovandosi al denominatore, sotto $3^n$ che cresce più lentamente, allora $b_n$ sarà decrescente.
Perchè ti assicuro, non abbiamo fatto dei ragionamenti cosi approfonditi sulle serie. Quindi se il mio ragionamento "algebrico" mi confermi che è giusto credo che mi basti quello a motivare che è decrescente. Almeno per il mio livello di matematica.
Il ragionamento non fa una piega, ma lo devi dimostrare, quelli che hai fornito sono argomenti di plausibilità, non una dimostrazione.
Io non so che studi fai, ma in un compito d'esame una dimostrazione dev'essere tale, se vuoi evitare il fattoriale, applica il criterio del rapporto alla serie dei valori assoluti, sparisce per incanto. Ciao
Io non so che studi fai, ma in un compito d'esame una dimostrazione dev'essere tale, se vuoi evitare il fattoriale, applica il criterio del rapporto alla serie dei valori assoluti, sparisce per incanto. Ciao
E un esame di analisi matematica in un CDL in informatica.
La serie dei valori assoluti non so nemmeno cosa sia, io ho studiato solo serie geometrica, telescopica e armonica. E nemmeno troppo approfondite.
Per altro, sulle oprazioni tra funzioni posso dire che: Decrescente + Decrescente o Decrescente - Decrescente o Decrescente * Decrescente rimangono sempre descrescenti o sbaglio?
L'unico dubbio si ha nel rapporto che vedi chi "varia" più velocemente, e se ho un Crescente * Decrescente che ad esempio non so che valori assume, o sbaglio?
La serie dei valori assoluti non so nemmeno cosa sia, io ho studiato solo serie geometrica, telescopica e armonica. E nemmeno troppo approfondite.
Per altro, sulle oprazioni tra funzioni posso dire che: Decrescente + Decrescente o Decrescente - Decrescente o Decrescente * Decrescente rimangono sempre descrescenti o sbaglio?
L'unico dubbio si ha nel rapporto che vedi chi "varia" più velocemente, e se ho un Crescente * Decrescente che ad esempio non so che valori assume, o sbaglio?
Cerca qui nel forum, i moderatori hanno preparato dei piccoli sunti anche per le serie, dato lo spazio ovviamente non è possibile scrivere tutto, però potrebbero aiutarti, altrimenti un buon testo, ma se l'esame ce l'hai ora non fai a tempo, la matematica bisogna non solo capirla, ma metabolizzarla, e ci vuole il suo tempo. Poi se ti chiami Von Neumann è un'altro discorso. 
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