Serie e criterio del rapporto

[sam17091]

Ciao a tutti, devo studiare la convergenza assoluta e semplice della serie:
$ sum_(n =1)^(+oo) (2^n(x-1)^n)/(3^n+n^2|x-1|^4 $ al variare di x appartenente ai reali.
Utilizzo il criterio del rapporto e ne studio la convergenza assoluta, quindi mi risulta:
$ sum_(n =1)^(+oo) (2^(n+1)|x-1|^(n+1))/(3^(n+1)+(n+1)^2|x-1|^4)* (3^n+(n)^2|x-1|^4)/(2^(n)|x-1|^(n)) $
e dopo varie semplificazioni ottengo:
$ (2|x-1|n^2)/(3(n+1)^2 $

Ma questo risultato è sbagliato, infatti dovrei ottenere: $ 2/3|x-1| $
COme faccio ad arrivare a questo risultato?

Grazie

[quantunquemente]

osserva che il denominatore è asintotico a $3^n$
quindi la serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale $(2/3)^n(x-1)^n$

[sam17091]

Quindi potevo usare direttamente il criterio del confronto? e trovavo il risultato da te scritto..