Serie e cambiamento di variabili
Buona sera a tutti. Ho un dubbio. Io devo studiare la convergenza della serie $ sum_(n = 1\)=(-1)^(2n+1) /n $
Questa serie è divergente. Volevo però provare a vedere con un cambiamento di variabile se mi veniva lo stesso risultato. Ho quindi scritto $ 2n+1=t $ e la serie è così diventata $ sum_(t = 3) 2(-1)^t /(t-1) $ che invece risulta essere a segni alterni. Qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi cosa sbaglio nel cambiare le variabili?
Questa serie è divergente. Volevo però provare a vedere con un cambiamento di variabile se mi veniva lo stesso risultato. Ho quindi scritto $ 2n+1=t $ e la serie è così diventata $ sum_(t = 3) 2(-1)^t /(t-1) $ che invece risulta essere a segni alterni. Qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi cosa sbaglio nel cambiare le variabili?
Risposte
È un cambio di variabile un po' infelice; in base a cioè che hai scritto, risulterebbe che la nuova serie ha indice \( t = 3,4,5,6,7,\dots\), ma questo è in contrasto con il cambio di variabile. Se \( t = 2n+1\), allora \( t = 3,5,7,9,\dots\). Ovvero, \(t \) è un numero dispari. Io termine generico dovrebbe essere riscritto così, per aggiustare la tua notazione:
\[ \sigma_t= \begin{cases} 0, \qquad \text{se} \ \ t \ \text{mod} \ 2 = 0 \\ 2 \frac{(-1)^{t}}{t-1}, \qquad \text{altrimenti} \end{cases} \]
La nuova serie allora sarebbe:
\[ \sum_{t =3}^{+\infty} \sigma_t \]
Capisci che studiare quest'ultima non è così agevole, a meno che non ci si riconduca a quella di partenza. Il cambio di variabile non è molto conveniente.
\[ \sigma_t= \begin{cases} 0, \qquad \text{se} \ \ t \ \text{mod} \ 2 = 0 \\ 2 \frac{(-1)^{t}}{t-1}, \qquad \text{altrimenti} \end{cases} \]
La nuova serie allora sarebbe:
\[ \sum_{t =3}^{+\infty} \sigma_t \]
Capisci che studiare quest'ultima non è così agevole, a meno che non ci si riconduca a quella di partenza. Il cambio di variabile non è molto conveniente.
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