Serie e ancora serie, un esercizio
Ho alcuni problemi sulla serie a seguire, vorrei chiedervi una mano.
$sum_(n>=1) (sin(sin(n!)))^n$, studiare convergenza semplice ed assoluta
Essendo a termini variabili ho pensato di metterla sotto modulo e studiare la serie dei moduli...
A questo punto essendo l'argomento del sin più interno una funzione che varia tra -1 e 1, il modulo della composta (due seni escluso l'esponente) non supererà il seno di 1 e di -1, ed essendo dispari sarà sin(1), in definitiva:
ora studio $(sin1)^n$ la quale è una geometrica con ragione minore di 1 e converge.
A parte i dubbi su questa risoluzione di cui non vado molto fiero, non riesco in realtà a svolgere inizialmente la verifica sulla condizione necessaria di convergenza: $lim_(n->oo) (sin(sin(n!)))^n$ non riesco a trovare un metodo valido per questo limite. Il fatto è che mi sembrerebbe una composizione di un limite che non esiste (a infinito), dunque dovrebbe saltare l'intero limite.
E in secondo luogo mi chiedo come potrei studiare la convergenza semplice.
Vi ringrazio
$sum_(n>=1) (sin(sin(n!)))^n$, studiare convergenza semplice ed assoluta
Essendo a termini variabili ho pensato di metterla sotto modulo e studiare la serie dei moduli...
A questo punto essendo l'argomento del sin più interno una funzione che varia tra -1 e 1, il modulo della composta (due seni escluso l'esponente) non supererà il seno di 1 e di -1, ed essendo dispari sarà sin(1), in definitiva:
ora studio $(sin1)^n$ la quale è una geometrica con ragione minore di 1 e converge.
A parte i dubbi su questa risoluzione di cui non vado molto fiero, non riesco in realtà a svolgere inizialmente la verifica sulla condizione necessaria di convergenza: $lim_(n->oo) (sin(sin(n!)))^n$ non riesco a trovare un metodo valido per questo limite. Il fatto è che mi sembrerebbe una composizione di un limite che non esiste (a infinito), dunque dovrebbe saltare l'intero limite.
E in secondo luogo mi chiedo come potrei studiare la convergenza semplice.
Vi ringrazio
Risposte
Ciao harperf,
Non ne capisco il motivo: esiste un ben noto teorema che afferma che se una serie è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente. Non vale il viceversa, infatti $\sum_{n = 1}^{+infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} $ converge (a $ln2 $), mentre la serie assoluta è la serie armonica, notoriamente divergente.
"harperf":
mi chiedo come potrei studiare la convergenza semplice.
Non ne capisco il motivo: esiste un ben noto teorema che afferma che se una serie è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente. Non vale il viceversa, infatti $\sum_{n = 1}^{+infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} $ converge (a $ln2 $), mentre la serie assoluta è la serie armonica, notoriamente divergente.
Buon pomeriggio pilloeffe,
intendevo dire che non sono sicuro dello svolgimento e non saprei come verificare tramite semplice. Perché se magari trovassi che non è semplicemente convergente potrei dedurre di aver sbagliato usando la contronominale.
Soprattutto perché
mi aspetto una non convergenza poiché mi sembra tale limite non esista, secondo me ho sbagliato qualcosa.
Insomma, il dubbio vero e proprio è sullo svolgimento, per i dubbi elencati
intendevo dire che non sono sicuro dello svolgimento e non saprei come verificare tramite semplice. Perché se magari trovassi che non è semplicemente convergente potrei dedurre di aver sbagliato usando la contronominale.
Soprattutto perché
$lim_(n->oo) (sin(sin(n!)))^n$ non riesco a trovare un metodo valido per questo limite. Il fatto è che mi sembrerebbe una composizione di un limite che non esiste (a infinito), dunque dovrebbe saltare l'intero limite.
mi aspetto una non convergenza poiché mi sembra tale limite non esista, secondo me ho sbagliato qualcosa.
Insomma, il dubbio vero e proprio è sullo svolgimento, per i dubbi elencati
Basta che usi il criterio della radice (sia per la successione che per la serie).
@otta96: aspetta mi stai dicendo di fare
$lim_(n->oo) \root[n]|((sin(sin(n!)))^n)|=lim_(n->oo) |\root[n]((sin(sin(n!)))^n)|$ che risulta tra 0 e sin(1) quindi minore di 1, per il criterio della radice allora la successione dei moduli $|a_n|=|(sin(sin(n!)))^n|$ ha per limite 0, dunque sapendo che $lim_(n->oo) |a_n|=0 <=>lim_(n->oo) a_n=0$, il limite vale zero?
Cioè la condizione necessaria è soddisfatta
$lim_(n->oo) \root[n]|((sin(sin(n!)))^n)|=lim_(n->oo) |\root[n]((sin(sin(n!)))^n)|$ che risulta tra 0 e sin(1) quindi minore di 1, per il criterio della radice allora la successione dei moduli $|a_n|=|(sin(sin(n!)))^n|$ ha per limite 0, dunque sapendo che $lim_(n->oo) |a_n|=0 <=>lim_(n->oo) a_n=0$, il limite vale zero?
Cioè la condizione necessaria è soddisfatta
Più o meno, nel senso che il limite non è indispensabile che esista, basta che esiste il limite superiore a sia minore di $1$, come nel nostro caso. Il resto va bene (anche se in realtà non si capisce molto cosa hai scritto nei limiti).
Si perdonami stavo aggiustndo i moduli nei limiti 
Ma secondo te questo ragionamento è da buttare del tutto,una volta verificata la condizione che abbiamo visto funzionare?
------------------------
Infine
Un'ultma cosa su questo argomento, abbiamomostrato che un limite del tipo
Sia $f(g(n))$ con $lim_(n->oo) g(n)=$non esiste
Allora $lim_(n->oo) f(g(n))$ come visto può esistere.
Questo per le successioni, ma in generale è vero anche per x nei reali?
Perché in realtà mi sembra un fatto che:
Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.
Ti/vi rigrazio
"harperf":
A questo punto essendo l'argomento del sin più interno una funzione che varia tra -1 e 1, il modulo della composta (due seni escluso l'esponente) non supererà il seno di 1 e di -1, ed essendo dispari sarà sin(1), in definitiva:
ora studio $(sin1)^n$ la quale è una geometrica con ragione minore di 1 e converge.
Ma secondo te questo ragionamento è da buttare del tutto,una volta verificata la condizione che abbiamo visto funzionare?
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Infine
Un'ultma cosa su questo argomento, abbiamomostrato che un limite del tipo
Sia $f(g(n))$ con $lim_(n->oo) g(n)=$non esiste
Allora $lim_(n->oo) f(g(n))$ come visto può esistere.
Questo per le successioni, ma in generale è vero anche per x nei reali?
Perché in realtà mi sembra un fatto che:
Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.
Ti/vi rigrazio
Per la prima cosa, il ragionamento che hai fatto serve a mostrare che sono soddisfatte le ipotesi del criterio dalle radice, quindi non è affatto da buttare.
Per la seconda cosa, in generale non si può dire nulla, il limite può non esistere, ma anche esistere (prendi ad esempio una $f$ costante).
Per la seconda cosa, in generale non si può dire nulla, il limite può non esistere, ma anche esistere (prendi ad esempio una $f$ costante).
Per la seconda cosa, in generale non si può dire nulla, il limite può non esistere, ma anche esistere (prendi ad esempio una f costante).
Non riesco a trovare controesempi per cui valga, so che non è una dimostrazione, ma mi aveva portato a indurre
Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.
Se è costante anche la composta con l'altra sarà costante (allo stesso valore).
Hai ragione!
Grazie
PS: avrei due serie che ho accumulato nella giornata di cui non so partorire una risposta. Sarebbe meglio continuare qui o aprire un nuovo argomento?
Grazie
PS: avrei due serie che ho accumulato nella giornata di cui non so partorire una risposta. Sarebbe meglio continuare qui o aprire un nuovo argomento?
Aprire un nuovo argomento.
"harperf":
Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.
Prova con $ f(y) :=1/y$, $ g(x):= (-1)^([x]) x$ (qui $[x]$ denota la parte intera di $x$) ed $x_0=+oo$.
Un altro bel controesempio, grazie anche a te gugo
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