Serie [Dubbi nella risoluzione]
$sum sin(1/n)^x/(log(n))$
quindi data la presenza del limite notevole
$sum (1/n)^x/(log(n)) = sum 1/(n^x)*1/(log(n))$
quindi dopo aver verificato che:
$a(n+1)
$(1/((n+1)^x)*1/(log(n+1)))-(1/(n^x)*1/(log(n)))<0$
posso applicare il criterio di condensazione di Cauchy:
la serie data diventa
$sum 2^k (1/(2^(kx))*1/(log(2^k)))=1/log2*sum 2^k (1/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^k/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^(k(1-x))/k)$
se è $1-x<0$ quindi $x>1$
confrontando con la serie armonica generalizzate $(1/k^2)$ che per a>2 converge si ha:
$lim_(k->+oo) k*(2^(k(1-x)))=0$ per $x>1$ quindi $1/k^2>2^(k(1-x))/k$ quindi converge per x>1
per x<1 la seria dal confronto con $1/k$ diverge ma la serie ottenuta mediante la condensazione di caunchy è maggirata rispetto a quella di partenza quindi non posso dire nulla sulla divergenza per x<1?
Ricordo l'esistenza di un criterio di Cauchy che diceva che se il $lim_(+oo)a(n)=+oo$ con $a(n)>0$ la serie non può convergere. Qualcuno potrebbe rinfrescarmi la memoria visto che nel libro non lo trovo più!
Nel mio caso potrei dire che per $x<1$
$lim_(k->oo)(2^(k(1-x))/k)=+oo$ quindi non converge e non potendo oscillare perchè a termini positivi DIVERGE.
per $x=1$ la serie diventa
$sum(1/k)$ che essendo la serie armonica DIVERGE.
IN CONCLUSIONE
per $x<=1$ DIVERGE
per $x>1$ CONVERGE
quindi data la presenza del limite notevole
$sum (1/n)^x/(log(n)) = sum 1/(n^x)*1/(log(n))$
quindi dopo aver verificato che:
$a(n+1)
$(1/((n+1)^x)*1/(log(n+1)))-(1/(n^x)*1/(log(n)))<0$
posso applicare il criterio di condensazione di Cauchy:
la serie data diventa
$sum 2^k (1/(2^(kx))*1/(log(2^k)))=1/log2*sum 2^k (1/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^k/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^(k(1-x))/k)$
se è $1-x<0$ quindi $x>1$
confrontando con la serie armonica generalizzate $(1/k^2)$ che per a>2 converge si ha:
$lim_(k->+oo) k*(2^(k(1-x)))=0$ per $x>1$ quindi $1/k^2>2^(k(1-x))/k$ quindi converge per x>1
per x<1 la seria dal confronto con $1/k$ diverge ma la serie ottenuta mediante la condensazione di caunchy è maggirata rispetto a quella di partenza quindi non posso dire nulla sulla divergenza per x<1?
Ricordo l'esistenza di un criterio di Cauchy che diceva che se il $lim_(+oo)a(n)=+oo$ con $a(n)>0$ la serie non può convergere. Qualcuno potrebbe rinfrescarmi la memoria visto che nel libro non lo trovo più!
Nel mio caso potrei dire che per $x<1$
$lim_(k->oo)(2^(k(1-x))/k)=+oo$ quindi non converge e non potendo oscillare perchè a termini positivi DIVERGE.
per $x=1$ la serie diventa
$sum(1/k)$ che essendo la serie armonica DIVERGE.
IN CONCLUSIONE
per $x<=1$ DIVERGE
per $x>1$ CONVERGE
Risposte
nessuno può aiutarmi?
Dopo aver applicato il criterio di condensazione non c'è più nessun bisogno di confrontare la serie condensata con un bel niente, perchè è facile in questo caso stabilirne la convergenza.
Tra l'altro:
questo è incompleto e la maggiorazione che hai fatto non so nemmeno se sia vera nemmeno per $x>1$, sicuramente lo è definitivamente.
Una volta arrivato alla serie condensata ti basta notare che se $x<1$ il termine generale non è infinitesimo (condizione necessaria per la convergenza della serie), osservi che se $x=1$ la serie condensata è quella armonica (divergente $=>$ risulta divergente anche la serie di partenza), se $x>1$ la serie condensata converge e quindi hai la convergenza della serie di partenza.
Il bello del criterio di condensazione è che è un "se e solo se": la serie converge $<=>$ converge la sua serie condensata (ovviamente ci sono alcune ipotesi sul termine generale della serie, ma mi pare tu le conosca).
Tra l'altro:
"nunziox":
confrontando con la serie armonica generalizzate $(1/k^2)$ che per a>2 converge si ha:
$lim_(k->+oo) k*(2^(k(1-x)))=0$ per $x>1$ quindi $1/k^2>2^(k(1-x))/k$ quindi converge per x>1
questo è incompleto e la maggiorazione che hai fatto non so nemmeno se sia vera nemmeno per $x>1$, sicuramente lo è definitivamente.
Una volta arrivato alla serie condensata ti basta notare che se $x<1$ il termine generale non è infinitesimo (condizione necessaria per la convergenza della serie), osservi che se $x=1$ la serie condensata è quella armonica (divergente $=>$ risulta divergente anche la serie di partenza), se $x>1$ la serie condensata converge e quindi hai la convergenza della serie di partenza.
Il bello del criterio di condensazione è che è un "se e solo se": la serie converge $<=>$ converge la sua serie condensata (ovviamente ci sono alcune ipotesi sul termine generale della serie, ma mi pare tu le conosca).
Grazie mille 
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