Serie divergente ma non troppo!!

[materions]

Ciao a tutti,
sono alle prese con una serie trovata in un libro,
c'è scritto di risolverla con il criterio del rapporto e che è divergente,
il problema è che a me da sempre 1 come risultato.
la serie è la seguente:

$sum_(n=2)^(+oo)(5n)/sqrtn$

Potete gentilmente mostrarmi i passaggi, qualora venisse divergente.

Ringrazio in anticipo,
Salve.

[_nicola de rosa]

"materions":Ciao a tutti,
sono alle prese con una serie trovata in un libro,
c'è scritto di risolverla con il criterio del rapporto e che è divergente,
il problema è che a me da sempre 1 come risultato.
la serie è la seguente:

$sum_(n=2)^(+oo)(5n)/sqrtn$

Potete gentilmente mostrarmi i passaggi, qualora venisse divergente.

Ringrazio in anticipo,
Salve.

col criterio del rapporto $(a_(n+1))/(a_n)=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$ e $lim_(n->+infty)(a_(n+1))/(a_n)=1$ per cui non puoi stabilire il comportamento della serie essendo il limite proprio pari ad $1$.
in tal caso basta notare $a_n=5n/(sqrt(n))=5sqrt(n)$ che quindi diverge per $n->+infty$, per cui la serie è divergente

[Lammah]

"nicola de rosa":
col criterio del rapporto $(a_(n+1))/(a_n)=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$ e $lim_(n->+infty)(a_(n+1))/(a_n)=1$ per cui non puoi stabilire il comportamento della serie essendo il limite proprio pari ad $1$.

non mi è chiaro questo passaggio

[_nicola de rosa]

"Lammah":[quote="nicola de rosa"]
col criterio del rapporto $(a_(n+1))/(a_n)=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$ e $lim_(n->+infty)(a_(n+1))/(a_n)=1$ per cui non puoi stabilire il comportamento della serie essendo il limite proprio pari ad $1$.

non mi è chiaro questo passaggio [/quote]
NON TI è CHIARO PERCHè QUEL LIMITE FACCIA 1? OD IL CRITERIO DEL RAPPORTO?

[Lammah]

$(a_(n+1))/(a_n)=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$ questo...

[_nicola de rosa]

"Lammah":$(a_(n+1))/(a_n)=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$ questo...

se $n->+infty$ $(n+1)/n->1,sqrt(n/(n+1))->1$ per cui il limite tende ad $1$

[Lammah]

+ che altro non capisco da dove salti fuori quella radice e come possa valere uguaglianza..

[_nicola de rosa]

"Lammah":+ che altro non capisco da dove salti fuori quella radice e come possa valere uguaglianza..

$a_n=5n/(sqrtn)$ per cui $a_(n+1)=5(n+1)/(sqrt(n+1))$ per cui
$(a_(n+1))/(a_n)=(5(n+1)/(sqrt(n+1)))/(5n/(sqrtn))=(n+1)/n*sqrt(n/(n+1))$

chiaro ora?

[Lammah]

ecco ora sì... vado a infilare la testa sotto la sabbia come gli struzzi ora...

[Fioravante Patrone1]

"materions":Ciao a tutti,
sono alle prese con una serie trovata in un libro,
c'è scritto di risolverla con il criterio del rapporto e che è divergente,
il problema è che a me da sempre 1 come risultato.
la serie è la seguente:

$sum_(n=2)^(+oo)(5n)/sqrtn$

Potete gentilmente mostrarmi i passaggi, qualora venisse divergente.

Ringrazio in anticipo,
Salve.

ciao
la serie è divergente, come già è stato mostrato

quanto al fatto di "risolverla con il criterio del rapporto", tieni presente che il limite di $(a_(n+1))/(a_n)$ è 1, ma la successione $(a_(n+1))/(a_n)$ tende a 1 "da destra" (per la precisione, è sempre $(a_(n+1))/(a_n) > 1$)

questo vuol dire che il termine generale è crescente e quindi non tende a zero (cioè non soddisfa la condizione necessaria di convergenza)

penso che l'esercizio si riferisse a questo tipo di considerazioni, che sono generali e riguardano proprio il criterio del rapporto
tutto questo per rispondere al quesito che avevi formulato. Dopodiché si vede subito che il termine generale della serie tende a + infinito, per cui seguire la strada sopra è un filino demenziale...