Serie divergente ma con limite=0 per n-->infinito
Ho la serie della successione $a_{n}$ con le seguenti proprietà:
$\sum_{n=1}^infty a_n$ = +infinito ; $\lim_{n \to \infty}a_n$=0
Posso affermare che :
$a_{n}$ è asintotica alla successione $(1)/(n)$ oppure
$\sum_{n=1}^infty a_n$ $>=$ $\sum_{n=1}^infty (1)/(n)$ ???
Io credo proprio di si poichè se non fosse asintotica alla serie armonica oppure la serie maggiore della sua serie, la serie convergerebbe oppure avrebbe il limite diverso da 0.
$\sum_{n=1}^infty a_n$ = +infinito ; $\lim_{n \to \infty}a_n$=0
Posso affermare che :
$a_{n}$ è asintotica alla successione $(1)/(n)$ oppure
$\sum_{n=1}^infty a_n$ $>=$ $\sum_{n=1}^infty (1)/(n)$ ???
Io credo proprio di si poichè se non fosse asintotica alla serie armonica oppure la serie maggiore della sua serie, la serie convergerebbe oppure avrebbe il limite diverso da 0.
Risposte
No. Considera:\[ \sum_n \frac{1}{\sqrt{n}} \]
è MAGGIORE della serie armonica!!!
si questo è vero ma questa serie è maggiore della serie armonica; quando dico posso affermare:... significa: è vero che tutte le serie con quelle proprietà o sono asintotiche alla successione armonica o la serie è maggiore della serie armonica?
Ho capito cosa vuoi dire. Tuttavia ti faccio notare che
non è mai verificata.
"agenog":
$\sum_{n=1}^infty a_n$>$\sum_{n=1}^infty (1)/(n)$
non è mai verificata.
si ho scritto male sarebbe >=
Ad esempio la serie che hai scritto tu posso mostrare che diverge per confronto e scrivo che è maggiore o uguale.
Ad esempio la serie che hai scritto tu posso mostrare che diverge per confronto e scrivo che è maggiore o uguale.
Considera \(\sum \frac{1}{n\ \log n}\). 
questa serie diverge, quindi è >= alla serie della serie armonica (+inf=+inf)
Nel mio paese:
\[
\frac{1}{n\ \log n} < \frac{1}{n}
\]
per \(n\geq 2\), quindi, sempre nel mio paese, la serie \(\sum \frac{1}{n\ \log n}\) non è certo definitivamente più grande della serie armonica.
\[
\frac{1}{n\ \log n} < \frac{1}{n}
\]
per \(n\geq 2\), quindi, sempre nel mio paese, la serie \(\sum \frac{1}{n\ \log n}\) non è certo definitivamente più grande della serie armonica.
Ovvio, ma le due serie dovergono entrambe a +infinito quindi ho serie(1/(n*log(n))=+infinito=serie(1/n).
Scusa, ma tu hai detto all'inizio che cercavi una successione \(a_n\) con \(\sum a_n =+\infty\) e \(\lim a_n=0\)... Perché ti lamenti del fatto che le risposte proposte soddisfino le proprietà che tu hai richiesto?
Ad ogni modo, allora considera la serie \(\sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\).
Ad ogni modo, allora considera la serie \(\sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\).
si in effetti o posto male il problema. L'ultima non soddisfa la prima ipotesi. Chiedevo solo di dimostrare o confutare ciò che supponevo in ssqguito alle ipotesi. cmq grazie lo stesso 
Il mio problema parte dal risolvere questo quesito:
E' vero che per ogni successione An che tende monotonamente a 0 con termini di segno positivo e la serie della successione diverge ho:
$a_1$+$a_2$+$a_3$+...+$a_n$ $>=$ $a_(n+1)$*n
Il mio problema parte dal risolvere questo quesito:
E' vero che per ogni successione An che tende monotonamente a 0 con termini di segno positivo e la serie della successione diverge ho:
$a_1$+$a_2$+$a_3$+...+$a_n$ $>=$ $a_(n+1)$*n
Certo che è vero.
Ed è banalissima conseguenza della sola decrescenza: infatti, hai \(a_1,a_2,\ldots ,a_n\geq a_{n+1}\), quindi \(\sum_{k=1}^n a_k\geq \sum_{k=1}^n a_{n+1}= n\ a_{n+1}\).
Ed è banalissima conseguenza della sola decrescenza: infatti, hai \(a_1,a_2,\ldots ,a_n\geq a_{n+1}\), quindi \(\sum_{k=1}^n a_k\geq \sum_{k=1}^n a_{n+1}= n\ a_{n+1}\).
è corretto ma non capisco benissimo perchè si pone l' ultimo >=
"agenog":
è corretto ma non capisco benissimo perchè si pone l' ultimo >=
Hai:
\[
\begin{split}
a_1&\geq a_{n+1}\\
a_2&\geq a_{n+1}\\
&\ \vdots \\
a_n &\geq a_{n+1}
\end{split}
\]
quindi, sommando le disuguaglianze membro a membro, trovi:
\[
a_1+a_2+\cdots +a_n \geq \underbrace{a_{n+1} +a_{n+1}+\cdots +a_{n+1}}_{n \text{ addendi}} = n\ a_{n+1}\; .
\]
grande chiarissimo!!! grazie mille!!!
grazie mille!!!
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