Serie dipendente da x

[alexsandrino1989]

ho difficolta nel trovare per quale x la serie converge..ho trovato il raggio R ma dopo non so come andare avanti..grazie in anticipo

[math]\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{logn}n^{x^2-2x-1}[/math]

Aggiunto 3 ore 36 minuti più tardi:

nessuno ha qualche idea?

[ciampax]

Per prima cosa, questa non è una serie di potenze, ma una serie numerica dipendente da un parametro

[math]x\in\mathbb{R}[/math]

, quindi calcolare il raggio di convergenza (che tra l'altro, sarei curioso di sapere come hai fatto) è assolutamente inutile (oltreché impossibile). Quello che ti consiglio di fare è la cosa seguente: poni

[math]t=x^2-2x-1[/math]

per semplicità così che il termine generale della serie avrà la forma seguente

[math]a_n(t)=\frac{(-1)^n}{\log n}\cdot n^t[/math]

Ora, avendo una serie a termini di segno alterno, devi fare due cose:

1) studiare il comportamento della serie

[math]|a_n(t)|[/math]

e determinare per quali valori di

[math]t[/math]

e quindi di

[math]x[/math]

tale serie converga: ciò ti assicurerà la convergenza assoluta della serie e quindi la convergenza semplice per questi valori;

2) utilizzare il criterio di Leibniz per verificare sotto quali condizioni per

[math]t[/math]

e quindi per

[math]x[/math]

esso possa essere applicato, così da determinare la convergenza semplice.

Due osservazioni:
a) non è detto che i due metodi ti diano gli stessi valori per

[math]t[/math]

, in quanto la serie potrebbe convergere assolutamente per certi valori e convergere semplicemente per molti più valori;
b) prima di tutto calcola il limite

[math]\lim_{n\to\infty} |a_n(t)|[/math]

. Questo ti permetterà di escludere molti casi, in quanto se tale limite viene diverso da zero, sicuramente la serie diverge.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Ah sì, dimenticavo... ovviamente se ti inceppi, fammi sapere.

[alexsandrino1989]

potresti scrivermi i passaggi per favore? ho provato ma non riesco a trovare i valori..

[ciampax]

E' una cosa urgente? Perché al momento ho un mal di testa che mi uccide e non riesco ad essere molto concentrato!

[alexsandrino1989]

no no puoi scriverli anche domani :)