Serie d'Integrale al variare del parametro

[IngMarcon]

Buongiorno,
L'esercizio cita
"Determinare al variare del parametro,positivo, il carattere della seguente serie, stabilendo il segno dei termini della serie per valori di n abbastanza grandi:
$ sum_(n > \1) int_((n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) )^((n^3+n)^(sqrt(5)a)) (arctg(t))/t^2 dt $ "
Di solito utilizzo il teorema della media integrale, facendo variare t tra i due estremi dell'integrale e dopo moltiplicare l'argomento dell'integrale con il t sostituito da epsilon ( la variabile compresa da i due estremi ) e moltiplico per la differenza tra i due estremi, da qui faccio tramite i vari confronti, studio della condizione necessaria, maggiorazioni qualcosa tiro fuori. Ma non sono sicuro qui del passaggio, l'estremo sotto mi risulta piu grande di quello sopra, no?
Non lo so datemi delle idee please .
Vi ringrazio in anticipo dell'interesse.

[Antimius]

Se il problema è che l'estremo più grande sta sotto, basta invertirli, tanto comunque il carattere della serie non cambia se metti un segno meno davanti.
Per quanto riguarda il teorema della media, attento che quello che tu chiami $\epsilon$ è un numero compreso tra i due estremi (dipendenti da $n$) e quindi anch'esso dipendente da $n$. Perciò stai attento quando calcoli i limiti

[IngMarcon]

Grazie, allora io sto procedendo cosi:
$ (n^3+n)^(sqrt(5)alpha) <=xi <=(n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) $
$ -sum_(n > \1)(arctg(xi))/xi((n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) -(n^3+n)^(sqrt(5)alpha) ) $
poi mi muovo cosi, maggioro e inizio a svolgere il limite per la condizione necessaria:
$ -lim_(x -> oo )(arctg(n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) )/(n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) (n^3((1+2/n^2)^(sqrt(5)alpha) -(1+1/n^2)^(sqrt(5)alpha)) ) $
dopo lo sviluppo e mi rimane questo:
$ - lim_(x -> oo )(arctg(n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) )/(n^3+2n)^(sqrt(5)alpha) (nsqrt(5)alpha) $
Da qui non so che fare senza sapere perfino se ho fatto giusto
Ce so $ arctg(x) $ con $ x rarr oo $ (come in questo caso ) $ =pi/2 $ ma bo

[Antimius]

Osserva che, per la disuguaglianza che hai scritto $\xi_n \to +\infty$ per $\alpha > 0$, perciò $$\arctan \xi_n \to \pi/2$$
Dalla stessa disuguaglianza, ricavi che $$\xi_n \sim n^{3 \sqrt{5} \alpha}$$
Perciò per $n \to \infty$ il termine generico tende a $0$.

Adesso puoi utilizzare queste osservazioni per determinare l'andamento asintotico del termine generico

P.S.: c'è un refuso, al denominatore hai $\xi_n^2$ e non $\xi_n$

[IngMarcon]

Uuuuh si si che figata grazie quindi perfetto cosi non ho sparato un mucchio di cavolate.

[Antimius]

Figurati