Serie di una successione ricorsiva
Ciao a tutti, avrei dei dubbi sul seguente esercizio. E' la prima volta che affronto un esercizio del genere e in giro non ho trovato nulla.
Sia la seguente una successione ricorsiva:
$a(1) = 1 ; a(n+1)= (a(n)+2)/(a(n))$
Al variare di k in R, dire se la seguente è una serie convergente:
$ \sum _{k=1}^{∞}(-1)^na(n)^k $
Il mio problema non sta nella risoluzione della serie. Non riesco bene a capire,dato che è una successione ricorsiva, cosa devo mettere al posto di $a(n)$.
Grazie per eventuali aiuti.
Sia la seguente una successione ricorsiva:
$a(1) = 1 ; a(n+1)= (a(n)+2)/(a(n))$
Al variare di k in R, dire se la seguente è una serie convergente:
$ \sum _{k=1}^{∞}(-1)^na(n)^k $
Il mio problema non sta nella risoluzione della serie. Non riesco bene a capire,dato che è una successione ricorsiva, cosa devo mettere al posto di $a(n)$.
Grazie per eventuali aiuti.
Risposte
Ciao Ale112,
Se non ho fatto male i conti, la soluzione dell'equazione alle differenze non lineare proposta
$ a(n+1)= (a(n)+2)/(a(n)) = 1 + 2/(a(n)) $
con $a(1) = 1 $ è la seguente:
$ a(n) = 3/(1 - (-1/2)^n) - 1 = (2 + (-1/2)^n)/(1 - (-1/2)^n) $
Attenzione poi perché così com'è scritta la serie $k $ è l'indice di sommatoria, quindi non può variare in $\RR $ di sicuro...
Se non ho fatto male i conti, la soluzione dell'equazione alle differenze non lineare proposta
$ a(n+1)= (a(n)+2)/(a(n)) = 1 + 2/(a(n)) $
con $a(1) = 1 $ è la seguente:
$ a(n) = 3/(1 - (-1/2)^n) - 1 = (2 + (-1/2)^n)/(1 - (-1/2)^n) $
Attenzione poi perché così com'è scritta la serie $k $ è l'indice di sommatoria, quindi non può variare in $\RR $ di sicuro...
Grazie per la risposta. Come hai fatto a ricavare l'espressione di a(n) conoscendo a(1)?
Il criterio della radice non serve per risolvere la serie?
Io non riesco a capire come ottenere l'espressione esplicita di a(n).
Ho provato a scrivermi a(1),a(2),a(3) ecc... ma non riesco a capirne il criterio. Le equazioni alle differenze non dovremmo averle fatte ma l' esercizio l'ho preso da una prova d'esame...
Potreste esplicitare i passaggi?
Grazie e scusate per il disturbo.
Io non riesco a capire come ottenere l'espressione esplicita di a(n).
Ho provato a scrivermi a(1),a(2),a(3) ecc... ma non riesco a capirne il criterio. Le equazioni alle differenze non dovremmo averle fatte ma l' esercizio l'ho preso da una prova d'esame...
Potreste esplicitare i passaggi?
Grazie e scusate per il disturbo.
Quindi, se so già che il limite di a(n+1) tende a 2, mi basta trovare il k nei reali che la fa tendere a 0 affinché la serie converga?
Si scusami,l'indice della serie è n mentre la potenza di a(n) è k
Per trovare il limite di a(n):
Se esistesse finito dovrei avere $a(n) = l $ per n che tende a +infinito. E se il limite esiste per a(n) esiste anche per a(n+1). Dovrei quindi avere:
$(l+2)/l=l che ha soluzione accettabile per l = 2. Quindi per n che tende ad infinito dovrei avere a(n) = 2.
Ma evidentemente sbaglio qualcosa poichè nessun k lo farebbe andare a zero..
Se esistesse finito dovrei avere $a(n) = l $ per n che tende a +infinito. E se il limite esiste per a(n) esiste anche per a(n+1). Dovrei quindi avere:
$(l+2)/l=l che ha soluzione accettabile per l = 2. Quindi per n che tende ad infinito dovrei avere a(n) = 2.
Ma evidentemente sbaglio qualcosa poichè nessun k lo farebbe andare a zero..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo