Serie di una successione di funzioni
L'esercizio chiede di studiare la convergenza semplice di:
[8]log(1 + (x(n)^n)) **** HO CORRETTO
Sommatoria per n che và da 1 a infinito
La cosa lampante è che solo quando x = 0 la serie converge.
Quindi c'è convergenza semplice solo in 0????
Quindi X = 0 insieme di convergenza
Inoltre se studio log(1 + (nx)^n) noto che c'è anche convergenza uniforme perche
Lim sup |log(1 + (nx)^n) - 0| = 0
n-->+inf x e X
in quanto sup = 0
Grazie!!
[8]log(1 + (x(n)^n)) **** HO CORRETTO
Sommatoria per n che và da 1 a infinito
La cosa lampante è che solo quando x = 0 la serie converge.
Quindi c'è convergenza semplice solo in 0????
Quindi X = 0 insieme di convergenza
Inoltre se studio log(1 + (nx)^n) noto che c'è anche convergenza uniforme perche
Lim sup |log(1 + (nx)^n) - 0| = 0
n-->+inf x e X
in quanto sup = 0
Grazie!!
Risposte
C'era un errore nel testo della serie.
Il prof l'ha risolta così:
per x >= 1 diverge (non rispetta la CN)
per 0 <= x < 1 converge
sfruttando il limite notevole (log (t - 1))/ t per t che tende a 0 esso tende a 1 si utilizza il criterio asintotico, quindi,
(log(1 + (x(n)^n)) ) / (x(n)^n)) per n che tende ad inf. tende tutto a 1
quindi [8](log(1 + (x(n)^n)) ) va come [8](x(n)^n)) e siccome quest'ultima converge per 0 <= x < 1 allora converge anche la serie data
Il prof l'ha risolta così:
per x >= 1 diverge (non rispetta la CN)
per 0 <= x < 1 converge
sfruttando il limite notevole (log (t - 1))/ t per t che tende a 0 esso tende a 1 si utilizza il criterio asintotico, quindi,
(log(1 + (x(n)^n)) ) / (x(n)^n)) per n che tende ad inf. tende tutto a 1
quindi [8](log(1 + (x(n)^n)) ) va come [8](x(n)^n)) e siccome quest'ultima converge per 0 <= x < 1 allora converge anche la serie data
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