Serie di un integrale

[gbspeedy]

devo studiare il carattere di queste serie: $ sum _(n=1)^( +oo) int_(0)^(2/n)xsin(nx)dx $
ho calcolato l'integrale e alla fine ottengo la serie $ sum _(n=1)^( +oo) (sin2-2cos2)/(n^2) $ che è convergente.
poi mi viene data un'altra serie $ sum _(n=1)^( +oo) int_(npi)^((n+1)pi) x/(x^2+1) sin(nx) dx$
ma di questa ho difficoltà a calcolare l'integrale

[Covenant]

dubito si riesca a calcolare esplicitamente quell'integrale. Occorre seguire un'altra via...

[gbspeedy]

le $f_n(x) $ sono continue,positive e limitate ($<=x/(x^2+1)$)
quindi posso maggiorare con $ int_(npi)^((n+1)pi) x/(x^2+1)dx $

[Covenant]

già, però sbaglio o diverge la serie così ottenuta?

[gbspeedy]

anche a te viene come termine generale della serie $ log(1-((2n+1)pi^2)/(1+pi^2n^2)) $

[Covenant]

mi sembra però che ci sia un + al posto di quel meno. In ogni caso il termine generale è infinitesimo di ordine 1 per $ntooo$ e quindi la serie diverge...

[gbspeedy]

e quindi non posso dire nulla del carattere della serie originaria?

[gugo82]

@gbspeedy: Sei sicuro del testo della seconda serie?

Ad ogni modo, la prima si risolve anche senza integrare eplicitamente: infatti si ha:
\[
\int_0^{2/n} x\ \sin nx\ \text{d} x \stackrel{y=nx}{=}\frac{1}{n^2}\ \int_0^2 y\ \sin y\ \text{d} y
\]
quindi gli addendi sono positivi ed infinitesimi d'ordine \(2\).

[gbspeedy]

è scritto così nel testo.

[gugo82]

Vabbé, allora potresti fare così.

Ricordo innanzitutto il secondo teorema della media (ed è la prima volta che applico in qualche esercizio! Grazie per avermi offerto l'opportunità di farlo):

Siano \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue.

Se \(g\) è decrescente e nonnegativa, allora esiste almeno un punto \(\xi \in [a,b]\) tale che:
\[
\int_a^b f(x)\ g(x)\ \text{d} x = g(a)\ \int_a^\xi f(x)\ \text{d} x\; .
\]

e lo applico all'integrale che definisce l'addendo \(n\)-esimo della serie scegliendo \(g(x)=\frac{x}{1+x^2}\) (poiché tale funzione è positiva e decrescente per \(x>1\), e dunque decresce in ogni intervallo del tipo \([n\pi, (n+1)\pi]\)): riesco quindi a stabilire che esiste per ogni \(n\) esiste almeno un punto \(\xi_n \in [n\pi, (n+1)\pi]\) tale che:
\[
\begin{split}
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{x}{1+x^2}\ \sin nx\ \text{d} x &= \frac{n\pi}{1+n^2\pi^2}\ \int_{n\pi}^{\xi_n} \sin nx\ \text{d} x\\
&= \frac{\cancel{n}\pi}{1+n^2\ \pi^2}\ \left[ -\frac{1}{\cancel{n}}\ \cos nx\right]_{n\pi}^{\xi_n}\\
&= \frac{\pi}{1+\pi^2\ n^2}\ \left[ \cos n^2\pi - \cos n\xi_n\right]\\
&= \frac{\pi}{1+\pi^2\ n^2}\ \left[ (-1)^n - \cos n\xi_n\right]\; ;
\end{split}
\]
chiamato per comodità \(a_n\) l'integrale che definisce l'addendo \(n\)-esimo della serie, cioè \(a_n= \intop_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{x}{1+x^2}\ \sin nx\ \text{d} x\), passando ai valori assoluti i membri più esterni della precedente e maggiorando, trovo:
\[
\begin{split}
|a_n| &= \frac{\pi}{1+\pi^2\ n^2}\ \left| (-1)^n - \cos n\xi_n\right|\\
&\leq \frac{2\pi}{1+\pi^2\ n^2}\\
&\leq \frac{2}{\pi\ n^2}\; ,
\end{split}
\]
quindi i valori assoluti degli addendi sono maggiorati dagli addendi di una serie convergente (poiché multipla della serie armonica generalizzata d'esponente \(2\)).
Ciò importa che la serie assegnata, i.e. è assolutamente convergente.

[gbspeedy]

vicino al 2 manca pigreco?

[gbspeedy]

posso usare lo stesso teorema per studiare la convergenza puntuale e uniforme di $ f_n(x)=int_(n)^(nx) t^(1/3) e^(-t) dt AA x in R $?

[Covenant]

soluzione molto elegante Gugo.
Ieri ero arrivato anche io a qualcosa di simile ma più "calcoloso" , lo posto adesso:

IL termine generale è $ a_n = int_(npi)^((n+1)pi) x/(x^2+1) sin(nx) \ dx $, integriamo ora per parti usando $x/(x^2+1)$ come fattore differenziale e $sin(nx)$ come fattore finito:
$a_n = (- 1/n·cos(nx)*(x/(1+x^2)))_(npi)^((n+1)pi) + int_(npi)^((n+1)pi) cos(nx)/n*(1-x^2)/(x^2+1)^2 \ dx $.

Sviluppando i calcoli per il primo addendo:

$(picos(pin^2))/(pi^2n^2 + 1) - (pi(n + 1)*cos(pin^2 + pin))/(n*(pi^2·n^2 + 2pi^2n + pi^2 + 1))- 1/n* int_(npi)^((n+1)pi) cos(nx)*(x^2-1)/(x^2+1)^2 \ dx$.

Ora passiamo ai valori assoluti e maggioriamo opportunamente la somma (questa volta funziona maggiorare l'integrale!):

$|(picos(pin^2))/(pi^2n^2 + 1) - (pi(n + 1)*cos(pin^2 + pin))/(n*(pi^2·n^2 + 2pi^2n + pi^2 + 1))- 1/n* int_(npi)^((n+1)pi) cos(nx)*(x^2-1)/(x^2+1)^2 \ dx|$ $<$ $|pi/(pi^2n^2 + 1) + (pi(n + 1))/(n*(pi^2·n^2 + 2pi^2n + pi^2 + 1))+ 1/n* int_(npi)^((n+1)pi) *(x^2-1)/(x^2+1)^2 \ dx| = (2·pi)/(pi^2·n^2 + 1) $. La serie dunque converge per quanto già ampiamente detto.

[gugo82]

"gbspeedy":vicino al 2 manca pigreco?

Sì, mancava una (inutile) costante moltiplicativa.
Ora ho corretto.

"gbspeedy":posso usare lo stesso teorema per studiare la convergenza puntuale e uniforme di $ f_n(x)=int_(n)^(nx) t^(1/3) e^(-t) dt AA x in R $?

Perché no... Prova.

Ma forse ti basta fare un cambiamento di variabile tipo \(y=t/n\) per semplificare il problema.
Prova un po' tutte e due le strade e vedi quale è la migliore.


@Covenant: Grazie per i complimenti.
Però secondo me la tua soluzione era quella che aveva in mente chi ha proposto l'esercizio (dato che il secondo teorema della media ormai non credo si studi più). Anzi, ti dirò, avevo cominciato pure io ad integrare per parti, ma non avevo imboccato una strada che sembrava promettente; ergo mi sono ricordato del STM ed ho provato ad applicarlo... E mi è andata bene.

[gbspeedy]

"gbspeedy":posso usare lo stesso teorema per studiare la convergenza puntuale e uniforme di $ f_n(x)=int_(n)^(nx) t^(1/3) e^(-t) dt AA x in R $?

per questo cosa suggerisci?

[gugo82]

Come ho detto nel post precedente, puoi provare sia col secondo teorema della media sia con un cambiamento di variabile... Prova e vedi cosa ne esce.
Ora non ho tempo di mettermi a far conti, purtroppo.