Serie di termini a segno alterno.
Salve a tutti. Vi propongo questa serie che ho studiato fino ad un certo punto perchè il resto dell'esercizio svolto era sbagliato.
$ sum_(n = 2)^(+oo )(-1)^n log(1+(pi/ 2-arctg(n+1)) $
Procedere secondo il criterio di Leibniz, cioè verificare prima se il $ lim_(n -> +oo ) an=0 $ e poi verificare la decrescenza, è sufficiente, sbagliato o non sufficiente per determinare se una serie converge oppure no?
Grazie
$ sum_(n = 2)^(+oo )(-1)^n log(1+(pi/ 2-arctg(n+1)) $
Procedere secondo il criterio di Leibniz, cioè verificare prima se il $ lim_(n -> +oo ) an=0 $ e poi verificare la decrescenza, è sufficiente, sbagliato o non sufficiente per determinare se una serie converge oppure no?
Grazie
Risposte
Direi di si...ti rimando anche a questo link, oppure alla semplice consultazione del libro di analisi http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
Perfetto, allora posso dire che la serie dei moduli è $ sum_(n = 2)^( +oo ) log(1+(pi / 2 -arctg(n+1)) $ e il suo limite per n-> $ +oo $ è uguale a zero.
Come posso verificare ora la decrescenza?
Come posso verificare ora la decrescenza?
Scusa la domanda...ma un libro di teoria ce l'hai?! Appunti del corso!?
Scusa la risposta, ma se te lo chiedo è evidente che non è che non so leggere, ti pare?!
sinceramente guardando su un qualsiasi libro di analisi, e perdendoci un pò di tempo, sinceramente la tua domanda: "come si verifica la decrescenza!" mi sembra un pò strana...per questo mi sono permesso. Possibile mai che non ti venga spiegato, nè sul libro né sugli appunti del prof!?
Verificare se una successione è decrescente in effetti è una cosa che spesso non viene spiegata esplicitamente nei corsi di analisi. Un metodo standard è quello di passare a variabile continua e poi usare le tecniche solite del calcolo differenziale. Nello specifico la successione $a_n$ è uguale alla funzione di variabile continua $f(t)=log(1+(pi/ 2-arctg(t+1)) $ valutata in $1, 2, 3, ...$, ovvero
$a_n=f(n)$.
Puoi provare a studiare la funzione $f(t)$.
$a_n=f(n)$.
Puoi provare a studiare la funzione $f(t)$.
Grazie Dissonance, è proprio vero che non viene ben spiegata. Ora studio la f(t).
Se mi studio la f(t) e quindi la derivata prima per sapere dove è crescente e decrescente(giusto?), mi esce questa derivata:
$ f'(t)=-2/((x^2+2 x+2) (-2 tan^(-1)(x+1)+pi+2)) $
Non mi sono complicata la vita così?
$ f'(t)=-2/((x^2+2 x+2) (-2 tan^(-1)(x+1)+pi+2)) $
Non mi sono complicata la vita così?
Non tanto. Tieni conto che devi studiare la funzione solo per $t>1$, o addirittura solo per $t>T$ per un $T>0$. Quindi tanto per cominciare quel termine quadratico a denominatore è sempre positivo e non ti dà fastidio. Poi guarda meglio i conti: da dove esce $pi+2$? Sarà mica $pi/2$? E quel $tan^{-1}$ significa arcotangente immagino. Ma per $t>0$, $-arctan(t)>=-pi/2$, quindi ...
Che bisogno c'è di passare alla variabile continua? 
Noto che:
[tex]$\arctan (n+1) \text{ è strettamente crescente}\ \Rightarrow\ \tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1) \text{ è strettamente decrescente}$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ 1+[\tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1)] \text{ è strettamente decrescente}$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln \{1+[\tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1)]\} \text{ è strettamente decrescente}$[/tex],
per notissimi fatti sulla composizione di funzioni monotone.
Noto che:
[tex]$\arctan (n+1) \text{ è strettamente crescente}\ \Rightarrow\ \tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1) \text{ è strettamente decrescente}$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ 1+[\tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1)] \text{ è strettamente decrescente}$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln \{1+[\tfrac{\pi}{2} -\arctan (n+1)]\} \text{ è strettamente decrescente}$[/tex],
per notissimi fatti sulla composizione di funzioni monotone.
Benissimo, grazie a entrambi Dissonance e Gugo82.
A questo punto posso dire che la mia serie è convergente assolutamente e che non serve altro per verificarlo?
Grazie e ciao
A questo punto posso dire che la mia serie è convergente assolutamente e che non serve altro per verificarlo?
Grazie e ciao
Infatti la tua serie non converge assolutamente...
Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza semplice, non assoluta; e questo esercizio te lo dovrebbe confermare. Perchè?
Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza semplice, non assoluta; e questo esercizio te lo dovrebbe confermare. Perchè?
Si appunto e questo è fatto. Il professore chiede anche che si calcoli la convergenza assoluta. Ora nel mio caso quale criterio dovrei applicare? Integrale, criterio del rapporto o della radice?
"Delta Maximus":
Si appunto e questo è fatto. Il professore chiede anche che si calcoli la convergenza assoluta. Ora nel mio caso quale criterio dovrei applicare? Integrale, criterio del rapporto o della radice?
Ciao Delta.
Mi sfugge l'argomento del discorso... Quale criterio applicare per cosa?
Ciao Seneca. La mia serie è questa:
$ sum_(n = 2)^(+oo )(-1)^n log(1+(pi/ 2-arctg(n+1)) $
Devo studiarne prima l'assoluta convergenza e chiedevo quale criterio posso usare tra quelli citati.
$ sum_(n = 2)^(+oo )(-1)^n log(1+(pi/ 2-arctg(n+1)) $
Devo studiarne prima l'assoluta convergenza e chiedevo quale criterio posso usare tra quelli citati.
Io userei il criterio dell'ordine di infinitesimo per la convergenza assoluta... Non ricordo se è nel tuo bagaglio di conoscenze.
In sostanza si tratta di valutare l'ordine di infinitesimo di $\frac{pi}{2} - \arctan( n + 1 )$ per $n \to \infty$...
In sostanza si tratta di valutare l'ordine di infinitesimo di $\frac{pi}{2} - \arctan( n + 1 )$ per $n \to \infty$...
No, di solito questo non lo uso perchè non mi è stato spiegato bene.
"Delta Maximus":
No, di solito questo non lo uso perchè non mi è stato spiegato bene.
Allora cerca di colmare la lacuna, perché è un criterio davvero utile!
Seneca ho trovato questo tuo messaggio nel forum:
Determinare l'ordine di infinitesimo di [tex]$f$[/tex] rispetto all'ordine di infinitesimo [tex]$1/|x| $[/tex] per [tex]$x \to \infty$[/tex] significa determinare [tex]$\alpha > 0$[/tex] tale che il limite [tex]$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/|x|^{\alpha}}$[/tex] risulti finito e diverso da [tex]$0$[/tex].
Determina quindi $\alpha$ affinché [tex]$\lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\pi}{2} + \arctan(x)}{1/x^{\alpha}} = l \in \mathbb{R} - \{0\}$[/tex]. Puoi usare gli sviluppi di Taylor oppure De L'Hospital.
Procedo come nell'esempio?
Determinare l'ordine di infinitesimo di [tex]$f$[/tex] rispetto all'ordine di infinitesimo [tex]$1/|x| $[/tex] per [tex]$x \to \infty$[/tex] significa determinare [tex]$\alpha > 0$[/tex] tale che il limite [tex]$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/|x|^{\alpha}}$[/tex] risulti finito e diverso da [tex]$0$[/tex].
Determina quindi $\alpha$ affinché [tex]$\lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\pi}{2} + \arctan(x)}{1/x^{\alpha}} = l \in \mathbb{R} - \{0\}$[/tex]. Puoi usare gli sviluppi di Taylor oppure De L'Hospital.
Procedo come nell'esempio?
Certamente!
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