Serie di termini a segno alterno.
Ciao a tutti, posto oggi una serie di termini a segno alterno. Ecco qui:
$ sum_(0)^(+oo )(-1) log(1+(1/(n^2+2))) $
Premetto che non sono brava con le serie, i passaggi che seguono sono stati fatti guardando altri esercizi, comunque:
La serie dei moduli è: $ sumlog(1+(1/(n^2+2))) $
Il $ lim_(n -> +oo ) log(1+(1/(n^2+2))) = lim_(n -> +oo ) log1 =0 $
La successione è infinitesima quindi la serie data converge.
Come faccio ora a sapere se è anche decrescente?
$ sum_(0)^(+oo )(-1) log(1+(1/(n^2+2))) $
Premetto che non sono brava con le serie, i passaggi che seguono sono stati fatti guardando altri esercizi, comunque:
La serie dei moduli è: $ sumlog(1+(1/(n^2+2))) $
Il $ lim_(n -> +oo ) log(1+(1/(n^2+2))) = lim_(n -> +oo ) log1 =0 $
La successione è infinitesima quindi la serie data converge.
Come faccio ora a sapere se è anche decrescente?
Risposte
$x\mapsto \ln\(\frac 1{x^2+2}\)$ è decrescente perché $x\mapsto \frac 1{x^2+1}$ è decrescente e $x\mapsto \ln x$ è crescente.
"Delta Maximus":
La serie dei moduli è: $ sumlog(1+(1/(n^2+2))) $
[...]
La successione è infinitesima quindi la serie data converge.
No, aspetta... Fai un po' di confusione.
Il fatto che il termine generale sia infinitesimo non è una condizione sufficiente per la convergenza assoluta della serie.
Ok, ma non c'è anche un altro modo per scriverlo? mi spiego, negli esercizi del professore, la decrescenza è mostrata in questo modo:
$ log (1+(1/(n^2))) > log (1+(1/(n^2+2))) $
Poi la capovolge invertendo il segno ovviamente.
$ log (1+(1/(n^2))) > log (1+(1/(n^2+2))) $
Poi la capovolge invertendo il segno ovviamente.
Infatti non è assoluta, a meno che non lo provi. Per questo ho chiesto della decrescenza per poi applicare il criterio di Leibniz.
@seneca: qui si tratta di verificare il criterio delle serie a segno alterno. È per quello che Delta Maximus chiede la descrescenza.
Delta, lascia perdere il criterio di Leibniz; si è capito che è una serie a termini di segno alternato. Per prima cosa conviene verificare se la serie che hai per le mani converge assolutamente. Infatti se la serie [tex]$\sum |a_k|$[/tex] converge allora converge anche [tex]$\sum a_k$[/tex], cioè la tua serie.
Ti faccio quindi questa domanda: in questo caso la serie converge assolutamente?
Ti faccio quindi questa domanda: in questo caso la serie converge assolutamente?
&Delta Maximus Ti puoi aiutare di $\log(1+x)\leq x$ per $x\geq 0$ per mostrare che c'è la convergenza assoluta, quindi non c'è bisogno di utilizzare quello che sai sulle serie a segno alterno. Per, se fosse $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\(1+\frac 1{n+2}\)$ dovresti procedere così.
"girdav":
&Delta Maximus Ti puoi aiutare di $\log(1+x)\leq x$ per $x\geq 0$ per mostrare che c'è la convergenza assoluta, quindi non c'è bisogno di utilizzare quello che sai sulle serie a segno alterno. Per, se fosse $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\(1+\frac 1{n+2}\)$ dovresti procedere così.
Eh, appunto..
Si, convergono entrambe, quindi per questo è assolutamente convergente dici?
"Delta Maximus":
Si, convergono entrambe, quindi per questo è assolutamente convergente dici?
Dico che la serie è assolutamente convergente perché converge la serie dei valori assoluti. Questo ti permette di evitare di usare Leibniz.
Wow, questa non la sapevo. 
E vale solo per questo tipo di serie con termini a segni alternati?
E un'altra cosa, se fossi andata avanti con il ragionamento di Leibniz, come avrei trovato la decrescenza della successione?
E vale solo per questo tipo di serie con termini a segni alternati?
E un'altra cosa, se fossi andata avanti con il ragionamento di Leibniz, come avrei trovato la decrescenza della successione?
Comunque, se tu avessi voluto adoperare Leibniz, le ipotesi da verificare sono due:
1) [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} ) \to 0$[/tex];
2) [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] decrescente (l'importante è che lo sia da un certo [tex]$n$[/tex] in poi).
La 1) è immediata. La 2), se ci pensi, è altrettanto palese. Infatti, all'aumentare di [tex]$n$[/tex], [tex]$1 + \frac{1}{n^2 + 2}$[/tex] decresce. Basta vedere il grafico di un logaritmo per capire che [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] è decrescente.
Oppure, un'altra cosa che si può fare per verificare la 2) è considerare la funzione [tex]$f(x) = \log( 1 + \frac{1}{x^2 + 2} )$[/tex] e determinare gli intervalli di crescenza o decrescenza di questa funzione usando le derivate. In questo caso è evidentemente superfluo, poiché si può verificare la monotonia di [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] direttamente tramite la definizione di successione monotona; altre volte questo diventa complicato.
1) [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} ) \to 0$[/tex];
2) [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] decrescente (l'importante è che lo sia da un certo [tex]$n$[/tex] in poi).
La 1) è immediata. La 2), se ci pensi, è altrettanto palese. Infatti, all'aumentare di [tex]$n$[/tex], [tex]$1 + \frac{1}{n^2 + 2}$[/tex] decresce. Basta vedere il grafico di un logaritmo per capire che [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] è decrescente.
Oppure, un'altra cosa che si può fare per verificare la 2) è considerare la funzione [tex]$f(x) = \log( 1 + \frac{1}{x^2 + 2} )$[/tex] e determinare gli intervalli di crescenza o decrescenza di questa funzione usando le derivate. In questo caso è evidentemente superfluo, poiché si può verificare la monotonia di [tex]$\log( 1 + \frac{1}{n^2 + 2} )$[/tex] direttamente tramite la definizione di successione monotona; altre volte questo diventa complicato.
Chiaro e preciso come al solito 
. Ora me lo riscrivo per bene. Grazie Seneca e grazie Girdav.
Alla prossima (perché ci sarà sicuramente una prossima volta!)
. Ora me lo riscrivo per bene. Grazie Seneca e grazie Girdav.Alla prossima (perché ci sarà sicuramente una prossima volta!)
Un momento Seneca: non mi hai detto se il valore assoluto è da applicare solo a questi tipi di serie.
"Delta Maximus":
Wow, questa non la sapevo.
E vale solo per questo tipo di serie con termini a segni alternati?
No, è una proposizione che vale per qualsiasi serie a termini reali! (e forse anche complessi, ma non mi sono mai posto il problema)
Se hai una serie a termini di segno qualunque, questa converge se converge la serie dei valori assoluti.
Il discorso poi si complica un pochino:
Si può vedere però che se una serie è a termini di segno definitivamente costante (cioè da un certo indice [tex]$\nu$[/tex] in poi i termini della serie sono tutti o solo positivi o solo negativi) allora, la serie che si ottiene trascurando i primi [tex]$\nu$[/tex] addendi della serie originaria si chiama serie resto di indice [tex]$\nu$[/tex], ed è una serie a termini di segno costante (per esempio a termini di segno positivo); si dimostra che questa serie ha lo stesso carattere della serie originaria.
Quindi, per le serie a termini di segno definitivamente costante (segno costante "da un certo punto in poi"), considerare la serie dei valori assoluti e considerare la serie "senza i valori assoluti" non ti dà alcun vantaggio. Diventa invece utile quando la serie che stai considerando non è a termini di segno definitivamente costante (si chiamano serie a termini di segno misto, come ad esempio la serie a termini di segno alternato).
..infine tutto mi fu chiaro... 
Bye Bye
Bye Bye
"Seneca":Va bene qualsiasi spazio di Banach. Ne abbiamo parlato di recente con Antimius qui:
No, è una proposizione che vale per qualsiasi serie a termini reali! (e forse anche complessi, ma non mi sono mai posto il problema)
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 78414.html
"dissonance":Va bene qualsiasi spazio di Banach. Ne abbiamo parlato di recente con Antimius qui:
[quote="Seneca"]No, è una proposizione che vale per qualsiasi serie a termini reali! (e forse anche complessi, ma non mi sono mai posto il problema)
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 78414.html[/quote]
Interessante! Quando ho un po' di concentrazione in più leggerò i vostri posts. Grazie.
Va bene qualsiasi spazio di Banach. Ne abbiamo parlato di recente con Antimius qui:
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 78414.html[/quote]
Grazie !
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 78414.html[/quote]
Grazie
!
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