Serie di Taylor trovare a3

[skianthos90]

Buona sera a tutti,la gente normale sarebbe a dormire da un pezzo ma io sto provando a risolvere qualche quesito di matematica..
In questo non riesco ad uscirne fuori
Ho $sum_(k = 0)^(oo )(a_k x^k )$ la serie di Taylor di $f(x)=e^-3x$-Allora $a_3$ a quanto è uguale?
Grazie mille e buona notte

[gugo82]

I coefficienti della serie di Taylor centrata in un punto di una funzione sono legati ai valori delle derivate della funzione calcolati nel medesimo punto... Come?

[skianthos90]

Credo di non aver capito scusa..

[gugo82]

Come sono definiti i coefficienti della serie di Taylor di [tex]$f(x)$[/tex] centrata in [tex]$x_0$[/tex]?

In altre parole, se voglio che [tex]f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-x_0)^n[/tex], quali sono gli [tex]$a_n$[/tex] che devo scegliere?
Mica li posso prendere così a casaccio... C'è una formula che consente di ricavarli. Quale?

[skianthos90]

Vediamo un pò la serie di taylor so come è fatta,$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $ecc..Però credo ancora di non capire..scusa ma non ci sto arrivando..Devo prendere il terzo elemento quello con la derivata terza?

[gugo82]

Eh...

È cosa nota che una serie di potenze [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-x_0)^n[/tex] è la serie di Taylor di [tex]$f(x)$[/tex] se e solo se:

[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\quad a_n=\frac{f^{(n)} (x_0)}{n!}$[/tex].

In particolare, quindi, nel tuo caso [tex]$x_0=0$[/tex] ed [tex]$n=3$[/tex], quindi:

[tex]$a_3=\frac{f^{\prime \prime \prime} (0)}{3!}$[/tex].

Conseguentemente, l'unico problema da risolvere è calcolare [tex]$f^{\prime \prime \prime} (x)$[/tex].


P.S.: Ripensandoci a freddo, l'esercizio è molto facile se hai la prontezza di ricordare l'espansione di MacLaurin di [tex]$e^y$[/tex] e riesci a fare un opportuno cambiamento di variabile.

[skianthos90]

Ti ringrazio molte,sono andato ad incasinarmi e alla fine ora che mi hai fatto capire è facile...grazie