Serie di taylor e di laurent

[jimivanzar]

ciao amici devo calcolare le singolarità

che differenza c'è se una funzione $f(z)$ la sviluppo in serie di taylor o in serie di laurent ??

ad esempio $f(z) = e^(z/(z-3))$

nello sviluppo che differenza esiste tra le due tipologie di serie (taylor e laurent)?

[Sk_Anonymous]

"jimorrison81":ciao amici devo calcolare le singolarità

che differenza c'è se una funzione $f(z)$ la sviluppo in serie di taylor o in serie di laurent ??

ad esempio $f(z) = e^(z/(z-3))$

nello sviluppo che differenza esiste tra le due tipologie di serie (taylor e laurent)?

Teorema di Laurent: se $\Omega$ è un aperto non vuoto dell'usuale topologia metrica euclidea di $\mathbb{C}$ ed $f: \Omega \to \mathbb{C}$ è tale che, per un fissato $z_0 \in \mathbb{\Omega}$, esiste $\delta > 0$ tale che $D'(z_0, \delta) \subseteq \Omega$ ed $f$ è olomorfa in $D'(z_0, \delta)$, allora avviene che, per ogni $z \in \Omega$ per cui $0 < |z - z_0| < r \le \delta$: $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n$ $(z-z_0)^n$, dove $\{a_n\}$ è un'opportuna sequenza di coefficienti complessi univocamente determinati da $f$ e dal punto $z_0$.

Corollario di Taylor: nelle ipotesi del teorema precedente, quando $f$ sia olomorfa in $z_0$, si ha che $a_n = 0$, per ogni intero $n < 0$. Dunque $f$ è analitica nel cerchio $\{z \in \Omega: |z - z_0| < r\}$.

Nel tuo esempio, $f$ è analitica in $D(0, 3)$, e quindi è ivi sviluppabile in serie di Taylor. Non è tuttavia analitica in un intorno di $z_0 = 3$, seppure sia localmente sviluppabile in serie di Laurent di centro $z_0$.

P.S.: per ogni $z_0 \in \mathbb{C}$ ed ogni $\delta > 0$, si pone $D(z_0, \delta) := \{z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < \delta\}$ e $D'(z_0, \delta) := D(z_0, \delta) \setminus \{z_0\}$.

[jimivanzar]

quindi per questo esempio i due sviluppi sono identici??
lo sviluppo non corrisonde a

$f(z) = e*sum_(n=0)^oo 1/(n!)*(3/n)^n $

con $n=z-3$

questo è lo sviluppo in serie di laurent o di taylor?

[CiUkInO1]

quindi per questo esempio i due sviluppi sono identici??
lo sviluppo non corrisonde a

$f(z) = e*sum_(n=0)^oo 1/(n!)*(3/n)^n $

con $n=z-3$

questo è lo sviluppo in serie di laurent o di taylor?

Premetto che sulla cosa non sono molto preparato,quindi può darsi che dica qualche "cagata"

Però se non sbaglio f(z) ha una singolarità essenziale in z=3 , quindi non credo tu possa svilupparla in serie di taylor,al contrario lo sviluppo in serie di laurent ti dovrebbe dare infiniti coefficenti diciamo "negativi".

Ho detto qualche boiata?

[Sk_Anonymous]

"jimorrison81":quindi per questo esempio i due sviluppi sono identici??

Certo che no! Lo sviluppo di Laurent di centro $z_0 = 3$ è della forma $f(z) = \sum_{n=0}^{\+\infty} \frac{a_n}{(z-3)^n}$; lo sviluppo di Laurent (ovvero di Taylor-MacLaurin) di centro $z_0 = 0$ è invece del tipo $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n$, dove $\{a_n\}_{n \ge 0}$ e $\{b_n\}_{n \ge 0}$ sono due successioni numeriche complesse da determinarsi. In particolare, si trova senza grande sforzo che $a_n = \frac{e}{n!}$, per ogni $n \in \mathbb{N}$.